Conditions for Solving First Order Linear Differential Equations
<p>Las condiciones necesarias para aplicar el método para resolver ecuaciones lineales de primer orden son:</p>
<p>1. La ecuación debe ser lineal en la variable dependiente y su derivada.</p>
<p>2. La ecuación puede escribirse en la forma \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones de \(x\) solamente.</p>
<p>La ecuación dada es \(\frac{dy}{dx} - y = x^{2}\sen(x)\). Esta ecuación es lineal en \(y\) y su derivada \(\frac{dy}{dx}\), y aunque parece que el término \(x^{2}\sen(x)\) depende de \(y\), en realidad está multiplicado por \(1\), lo que hace que sea una función de \(x\) solamente. Entonces, la ecuación se puede expresar en la forma deseada identificando \(P(x) = -1\) y \(Q(x) = x^{2}\sen(x)\).</p>
<p>Resolvemos la ecuación utilizando el factor integrante \( \mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{-\int dx} = e^{-x} \).</p>
<p>Multiplicamos toda la ecuación por \(\mu(x)\):
\(e^{-x}\frac{dy}{dx} - e^{-x}y = x^{2}e^{-x}\sen(x)\).</p>
<p>La izquierda de la ecuación ahora es la derivada del producto de \( \mu(x) \) y \( y \), es decir, \( \frac{d}{dx}(e^{-x}y) \), entonces podemos escribirlo así:</p>
<p>\(\frac{d}{dx}(e^{-x}y) = x^{2}e^{-x}\sen(x)\).</p>
<p>Integramos ambos lados con respecto a \(x\):
\(\int \frac{d}{dx}(e^{-x}y)dx = \int x^{2}e^{-x}\sen(x)dx\).</p>
<p>El lado izquierdo se integra directamente a \( e^{-x}y \), y el lado derecho requiere integración por partes o una tabla de integrales. Sin embargo, esta integración no es trivial y no puede realizarse en un paso simple.</p>
<p>Por último, se despeja \(y\) simplemente multiplicando ambos lados por \(e^{x}\) para obtener la solución final \(y(x)\).</p>
