Combinatorics and Arrangements of People
Die Aufgabe scheint sich mit Kombinatorik zu befassen, insbesondere mit Anordnungen von Personen. Sie besteht aus drei Teilaufgaben.
(a) Sebastian, Clara, Miriam, Anne und Peter möchten ein Erinnerungsfoto machen. Es gibt 120 Möglichkeiten, nebeneinander zu stehen. Zeigen Sie das.
Um zu zeigen, dass es 120 Möglichkeiten gibt, können wir faktorielle Berechnungen verwenden. Wenn fünf Personen sich in einer Reihe anordnen möchten, gibt es für die erste Person 5 Möglichkeiten, für die darauf folgende Person 4 Möglichkeiten (da eine Position bereits belegt ist), danach für die dritte Person 3 Möglichkeiten, für die vierte Person 2 Möglichkeiten und für die letzte Person nur eine Möglichkeit.
Die Gesamtzahl der Anordnungen \(N\) wird dann berechnet mit:
\[ N = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120 \]
Diese Rechnung zeigt, dass es 120 verschiedene Möglichkeiten gibt, wie sich die fünf Personen für ein Foto nebeneinander aufstellen können.
(b) Sebastian will unbedingt links stehen, für die anderen gibt es noch 24 Möglichkeiten. Zeigen Sie das.
Wenn Sebastian fest auf der linken Seite steht, bleiben nur noch vier weitere Personen, die sich anordnen müssen. Ähnlich wie in Teilaufgabe (a) nehmen wir nun das Faktorielle der verbleibenden vier Personen:
\[ N = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4! = 24 \]
Das zeigt, dass es 24 Möglichkeiten gibt, die anderen Personen anzuordnen, wenn Sebastian eine feste Position hat.
(c) Wenn Sebastian rechts steht, gibt es für die anderen auch 24 Möglichkeiten. Wenn Sebastian am Rand gibt es also insgesamt \(2 \times 4! = 2 \times 24 = 48\) Möglichkeiten. Jedes andere Kind könnte auch am Rand stehen. Also gibt es insgesamt \(5 \times 48 = 240\) Möglichkeiten, oder?
Diese Annahme ist falsch, weil sie doppeltes Zählen von Szenarien verursacht. Hier ist der Denkfehler: Für jede der vier anderen Personen gibt es ebenfalls \(2 \times 4!\) Möglichkeiten (24 Möglichkeiten, wenn die Person links steht, und 24, wenn sie rechts steht). Aber für jede der Positionen von Sebastian an einem Ende (2 Positionen) haben wir bereits alle 24 Möglichkeiten der anderen Anordnungen gezählt. Wenn wir nun jede andere Person auch an jedem Ende platzieren und wieder 24 Anordnungen zählen, würden wir die Fälle wiederholen, die wir bereits für Sebastian gezählt haben. Deshalb würde die Multiplikation mit 5 zu vielen zu einer Überzählung führen.
Die korrekte Rechnung wäre, die zwei Möglichkeiten für Sebastian am Rand (links oder rechts) zu nehmen und dann für die verbleibenden vier Personen 24 Möglichkeiten zu berechnen, was zu den ursprünglichen 48 Möglichkeiten führt. Da diese Überlegung für jede der fünf Personen gilt, haben wir die Fälle bereits komplett abgedeckt.
Die Lösung aus Teilaufgabe (a) mit 120 Möglichkeiten ist bereits die Gesamtzahl aller möglichen Anordnungen, unabhängig davon, wer am Rand steht. Es gibt somit keine weiteren hinzuzufügenden Möglichkeiten.
