Calculating Sample Size for Margin of Error
Para resolver la segunda parte del problema, debemos calcular el tamaño de muestra necesario para alcanzar un error de margen de 1%. Para hacer esto, usamos la fórmula para el tamaño de muestra en una estimación de proporción con un nivel de confianza del 94.5%. La fórmula es la siguiente:
\( n = \left( \frac{Z_{\alpha/2} * \sqrt{p(1-p)}}{E} \right)^2 \)
donde:
- \( n \) es el tamaño de la muestra deseado.
- \( Z_{\alpha/2} \) es el valor Z correspondiente al nivel de confianza deseado. Para un nivel de confianza del 94.5%, \( Z_{\alpha/2} \) es aproximadamente 1.96 (esto sería correcto para un nivel de confianza del 95%, pero como no hemos sido proporcionados con una tabla Z, utilizaremos este valor para aproximación).
- \( p \) es la proporción estimada de la muestra. En este caso, de la muestra de 200 votantes, 114 apoyan la propuesta, así que \( p = \frac{114}{200} = 0.57 \).
- \( E \) es el margen de error deseado, que en este caso es 0.01 (o 1%).
Sustituimos los valores en la fórmula:
\( n = \left( \frac{1.96 * \sqrt{0.57(1-0.57)}}{0.01} \right)^2 \)
Calculamos dentro del paréntesis primero:
\( \sqrt{0.57(1-0.57)} = \sqrt{0.57 * 0.43} \)
\( \sqrt{0.57 * 0.43} \approx \sqrt{0.2451} \)
\( \sqrt{0.2451} \approx 0.4951 \)
Ahora multiplicamos por el valor Z:
\( 1.96 * 0.4951 \approx 0.9702 \)
Finalmente, elevamos al cuadrado el resultado de dividir este producto por el margen de error \( E \):
\( n = (0.9702 / 0.01)^2 \)
\( n = 97.02^2 \)
\( n \approx 9418.92 \)
Para llegar a una muestra que tenga un error de margen de solo 1%, necesitaríamos aproximadamente 9419 votantes (redondeando hacia arriba, ya que no podemos tener una fracción de un votante). Por lo tanto, se requiere un tamaño de muestra de aproximadamente 9419 votantes para tener un error del 1% en la estimación de la proporción con un nivel de confianza del 94.5%.
