Example Question - equation solutions
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving Equations and Inequalities in Mathematics
Pour résoudre le problème présenté dans l'image, commençons par le premier point : 1. Résoudre dans R l'équation : \[ \frac{1}{3}x + 3 = 0 \] \[ \frac{2x + 3}{x + 1} = \frac{(x + 1)(x - 3)}{x + 1} \] Résolvons d'abord l’équation simple \( \frac{1}{3}x + 3 = 0 \): Multiplications des deux côtés par 3 pour se débarrasser du facteur \( \frac{1}{3} \): \[ x + 9 = 0 \] Substrayons 9 des deux côtés de l’équation : \[ x = -9 \] Le côté droit de l’équation a une expression fractionnaire que nous pouvons simplifier en annulant les termes communs (x + 1) en supposant que x n'est pas égal à -1 (car cela annulerait le dénominateur, ce qui n'est pas permis). Cela nous donne directement (x - 3). Ensuite, vérifions si les deux côtés de l’équation sont égaux pour x = -9 : À gauche nous avons \( \frac{2(-9) + 3}{-9 + 1} = \frac{-18 + 3}{-8} = \frac{-15}{-8} = \frac{15}{8} \) À droite nous avons (-9 + 1)(-9 - 3) = (-8)(-12) = 96 Puisque \( \frac{15}{8} \) n'est pas égal à 96, l'équation n'est pas vraie pour x = -9. Donc, x = -9 n’est pas une solution pour l’équation donnée. Passons au deuxième point de l'exercice : 2. Soit \( p(x) = (x - 2)(x + 5) \) a) Résoudre dans R l'équation p(x) = 0 Pour résoudre cette équation, nous cherchons les valeurs de x pour lesquelles le produit est nul. Un produit de facteurs est nul si au moins l'un des facteurs est nul. Donc, \( x - 2 = 0 \) ou \( x + 5 = 0 \) Cela donne deux solutions : \[ x = 2 \] et \[ x = -5 \] b) Résoudre dans R l'inéquation p(x) > 0 Pour résoudre cette inéquation, nous utilisons les solutions de l'équation trouvées précédemment pour déterminer les intervalles sur lesquels le produit est positif. Les racines de l'équation divisent la ligne numérique en intervalles sur lesquels le signe du produit ne change pas. On a : - Pour \( x < -5 \), le produit (x - 2)(x + 5) est positif car on a un nombre négatif multiplié par un autre nombre négatif. - Pour \( -5 < x < 2 \), le produit est négatif car on a un nombre positif multiplié par un nombre négatif. - Pour \( x > 2 \), le produit est à nouveau positif car on a deux nombres positifs. Donc, les intervalles sur lesquels p(x) > 0 sont : \[ x \in ]-\infty; -5[ \cup ]2; +\infty[ \] Pour le troisième point : 3. Considérons l'équation (E) : x² - 2x + 1 = 0 Nous savons déjà que \( x_1 = \sqrt{2} - 1 \) est une solution de l'équation (E). Pour trouver la deuxième solution, remarquons que l'équation est une équation du second degré qui peut être écrite sous forme factorisée car c'est une équation du type \( (x - a)^2 = 0 \), où \( a \) est le terme racine. L'équation donnée est la forme développée de \( (x - 1)^2 \): \[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \] Pour que cette équation soit nulle, il est nécessaire que \( x - 1 = 0 \), d'où \( x = 1 \). Ceci est la deuxième solution de l'équation. Pour le quatrième point, l'inéquation à résoudre est : 4. Résoudre dans R l'inéquation \( 4x - 3\sqrt{x} + 1 < 0 \) Pour trouver les valeurs de x qui satisfont cette inéquation, il serait utile de factoriser l'expression ou d'utiliser une autre technique appropriée. Dans ce cas, la résolution exacte pourrait devenir complexe selon le niveau d'études attendu. Si vous avez besoin d'une méthode spécifique pour résoudre cette inéquation, veuillez préciser et je pourrai vous guider en conséquence.
Solving Fractions Equations
To solve the equations given in the image, we will work with fractions. The first equation provided is: \(\frac{13}{100} + \frac{5}{10} = \frac{13}{100} + \square\) Before we can add the fractions, we need to make sure they have a common denominator. The fractions \(\frac{13}{100}\) and \(\frac{5}{10}\) don't have the same denominator. To add them together, we should convert \(\frac{5}{10}\) to a fraction with a denominator of 100. We can do this by multiplying both the numerator and the denominator by 10. \(\frac{5}{10} \times \frac{10}{10} = \frac{50}{100}\) Now we can add the fractions: \(\frac{13}{100} + \frac{50}{100} = \frac{63}{100}\) The equation becomes: \(\frac{13}{100} + \frac{50}{100} = \frac{13}{100} + \square\) Now, to find the value that the square must represent to make the equation true, we can set up another equation: \(\frac{13}{100} + \square = \frac{63}{100}\) Subtract \(\frac{13}{100}\) from both sides of the equation to isolate the square: \(\square = \frac{63}{100} - \frac{13}{100} = \frac{63 - 13}{100} = \frac{50}{100}\) However, since the instructions ask for whole numbers, fractions, or decimals, and \(\frac{50}{100}\) can be simplified to \(\frac{1}{2}\) or converted to the decimal 0.5, we should provide the answer in one of those formats: The square would therefore be filled with the simplified fraction \(\frac{1}{2}\) or the decimal 0.5.
Solving Absolute Value Equations
The equation to solve is 8|x + 4| = 28. To solve an equation involving an absolute value, we need to consider the two possible cases that result from the definition of absolute value: one where the expression inside the absolute value is positive, and one where it is negative. Let's write down the two cases: 1. x + 4 is positive or zero: In this case, |x + 4| just equals x + 4, so we don't need the absolute value bars. We can write the equation as: 8(x + 4) = 28 Now, let's solve for x: 8x + 32 = 28 Subtract 32 from both sides: 8x = 28 - 32 8x = -4 Divide both sides by 8: x = -4/8 x = -0.5 2. x + 4 is negative: If x + 4 is negative, then |x + 4| equals -(x + 4). So our equation becomes: 8(-(x + 4)) = 28 -8x - 32 = 28 Add 32 to both sides: -8x = 28 + 32 -8x = 60 Divide both sides by -8: x = 60 / (-8) x = -7.5 So the solutions are x = -0.5 and x = -7.5. Looking at the options provided, the correct answer is: D. x = -7.5 and x = -0.5
Solving a System of Linear Equations
The image shows a system of two linear equations: 1) \( \begin{cases} y = 12 \\ y = x + 2 \end{cases} \) To solve this system, you can equalize the two expressions for y, as the left side of the equations are the same: \( 12 = x + 2 \) Now, subtract 2 from both sides to solve for x: \( 12 - 2 = x \) \( x = 10 \) Now that we have the value for x, we can use either of the equations to find the value for y. Since the first equation directly gives us the value of y, we don't need to plug x into it: \( y = 12 \) So the solution to the system of equations is \( x = 10 \) and \( y = 12 \).
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