Finding Domain of Logarithmic Function
Claro, abordemos la pregunta. Se nos pide encontrar el dominio de la función \(f(x) = \log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\).
El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de entrada (x) para los cuales la función está definida. En este caso, estamos tratando con una función logarítmica. Los logaritmos están definidos sólo para argumentos positivos, lo que significa que el argumento del logaritmo \(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\) debe ser mayor que cero.
Establezcamos esta condición:
\[\frac{1+x}{1-x} > 0\]
Para resolver esta desigualdad, primero hay que encontrar los valores que hacen que el numerador y el denominador sean cero, ya que estos son los valores que no están en el dominio (puntos de discontinuidad). Para el numerador tenemos \(1+x = 0\), lo que nos da \(x = -1\). Para el denominador tenemos \(1-x = 0\), lo que nos da \(x = 1\). Estos valores dividen la línea de números reales en intervalos. Debemos probar cada intervalo para ver si satisface la desigualdad:
Los intervalos son: \((-∞, -1)\), \((-1, 1)\) y \((1, ∞)\).
1. Para un número en el intervalo \((-∞, -1)\), como \(x = -2\), la expresión se convierte en un número positivo dividido entre otro positivo, lo que resulta en un valor positivo que cumple la desigualdad. Por lo tanto, todo el intervalo \((-∞, -1)\) está en el dominio.
2. Para un número en el intervalo \((-1, 1)\), como \(x = 0\), obtenemos \(1 > 0\), lo que nuevamente cumple la desigualdad. Así, todo el intervalo \((-1, 1)\) está en el dominio.
3. Para un número en el intervalo \((1, ∞)\), como \(x = 2\), la expresión se convierte en negativo dividido entre negativo, lo que da un positivo. Por lo que este intervalo también cumple la desigualdad y está en el dominio.
Sin embargo, debemos ser cuidadosos de excluir los valores \(x = -1\) y \(x = 1\) del dominio ya que estos hacen que el denominador sea cero, lo que haría que la expresión no esté definida (no podemos tener una división por cero).
Por lo tanto, el dominio de \(f(x)\) es todos los números reales excepto \(x = -1\) y \(x = 1\), lo que matemáticamente podríamos escribir como:
\[Dom(f) = (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, ∞)\]
