Proof of Multiplicative Property of Divisors
Die Aufgabe lautet, ob für alle natürlichen Zahlen gilt, dass wenn a ein Teiler von b ist und a ein Teiler von c ist, folgt daraus, dass a auch ein Teiler von bc ist.
Zum Beweisen dieser Aussage können wir die Definition eines Teilers nutzen: Wenn a ein Teiler von b ist, dann gibt es eine natürliche Zahl k, so dass b = ak. Ebenso, wenn a ein Teiler von c ist, dann gibt es eine natürliche Zahl l, so dass c = al.
Nun betrachten wir das Produkt bc:
bc = (ak)(al) = a(ka)l
Da ka und l natürliche Zahlen sind, ist ihr Produkt ebenfalls eine natürliche Zahl. Nennen wir dieses Produkt m, also m = ka * l. Wir können nun schreiben:
bc = a * m
Das zeigt, dass a tatsächlich ein Teiler von bc ist, weil bc als Produkt von a mit einer anderen natürlichen Zahl m geschrieben werden kann.
Damit haben wir den Beweis erbracht. Die Aussage ist wahr: Wenn a ein Teiler von b und gleichzeitig ein Teiler von c ist, dann ist a auch ein Teiler des Produktes bc für alle natürlichen Zahlen a, b und c.
