Proof of Divisibility by 7 and Number Sequences in Geometric Figures
Aufgabe 1: Beweisen
Wir sollen zeigen, dass jede 7er-Treppe durch 7 teilbar ist.
**Symbolischer Beweis:**
Eine 7er-Treppe besteht aus sieben übereinander liegenden "Stufen", wobei jede "Stufe" eine Reihe von Punkten ist, die jeweils um einen Punkt länger als die vorherige ist. Die Anzahl der Punkte in jeder Stufe entspricht somit der Summe der ersten 7 natürlichen Zahlen: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.
Diese Summe kann auch geschrieben werden als die 7-fache Summe der mittleren Zahl, welche in diesem Fall 4 ist (weil 4 die mittlere Zahl zwischen 1 und 7 ist): 7 * 4 = 28. Da 28 offensichtlich durch 7 teilbar ist, ist jede 7er-Treppe, die diese Summe hat, ebenfalls durch 7 teilbar.
**Ikonischer Beweis:**
Visualisieren Sie die 7er-Treppe als Kombination aus einem Rechteck mit den Seitenlängen 4 und 7 und einem rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreieck, das die restlichen Punkte umfasst (mit den "Katheten" der Länge 3). Die Anzahl der Punkte im Rechteck ist 4*7, was klar ein Vielfaches von 7 ist. Das Dreieck teilen wir entlang einer Diagonalen in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke, wobei jedes davon die Hälfte des ursprünglichen Dreiecks und damit ebenfalls ganzzahlig viele Punkte umfasst (denn das Ausgangsdreieck hat eine ungerade Anzahl von Punkten entlang der Diagonalen, und beim Teilen bekommt jedes der kleineren Dreiecke genau die Hälfte dieser Punkte plus einen zusätzlichen Punkt aus der Mitte der Diagonalen). Da die Anzahl der Punkte in einem solchen gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck immer der Form n*(n+1)/2 entspricht und hier n=3 gilt, ist die Anzahl der Punkte im Dreieck 3*4/2 = 6 und somit ebenfalls durch 7 teilbar, wenn man beide Hälften zusammenzählt (6*2=12). Daher ist die Gesamtanzahl der Punkte in der Treppe ein Vielfaches von 7.
Aufgabe 2: Zahlenfolgen
Teilaufgabe a) Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte in der 12. Figur der Folge.
Um die Anzahl der Punkte zu berechnen, identifizieren wir zuerst ein Muster. Für n=1 gibt es 1 Punkt, für n=2 gibt es 1+2+3 Punkte und für n=3 gibt es 1+2+3+4+5 Punkte. Wir erkennen, dass die Anzahl der Punkte der Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n*(n+1)/2 entspricht.
Die gesuchte Summe für die 12. Figur ist also die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 12*13/2, was 1 bis 78 entspricht. Die Formel für die Summe der ersten k natürlichen Zahlen ist k*(k+1)/2. Setzen wir hier 78 ein, ergibt sich 78 * 79 / 2 = 3081.
Teilaufgabe b) Geben Sie einen allgemeinen Term für die Anzahl der Punkte einer beliebigen Figur in der Figurenfolge an oder geben Sie die rekursive Vorschrift für a_n.
Der allgemeine Term ist die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n*(n+1)/2, also:
a_n = ∑ (von k=1 bis n*(n+1)/2) k
= (n*(n+1)/2) * ((n*(n+1)/2)+1)/2
= n*(n+1) * (n*(n+1)+2)/(4*2)
= n*(n+1)*(n^2+n+2)/8
Eine rekursive Vorschrift für a_n in Bezug auf a_(n-1) wäre:
a_n = a_(n-1) + ∑ (von k=n*(n-1)/2+1 bis n*(n+1)/2) k
worin a_1 = 1 ist und für jedes a_(n-1) die Summe der nächsten n*(n+1)/2 - n*(n-1)/2 Zahlen hinzugefügt wird.
