Example Question - differential equation approximation

Euler's Method for Approximating a Differential Equation

题目要求我们使用欧拉方法(Euler's method)来近似求解微分方程dy/dx = 2xy - x^2，初值条件为y(1) = 0。给定步长是1，我们需要用两步到达x = 3。 首先，将初始条件带入微分方程，计算y的近似值。 1. 当x = 1时，y(1) = 0，带入微分方程： dy/dx = 2 * 1 * 0 - 1^2 = -1。 这是在x = 1时y的变化率。 2. 使用欧拉方法，计算下一个点的y值： y(1 + 1) ≈ y(1) + dy/dx * Δx 其中Δx = 1。 所以有： y(2) = y(1) + (-1) * 1 = 0 + (-1) * 1 = -1。 3. 然后用新求得的y值计算下一个点的y值。现在，x = 2且y(2) = -1： dy/dx = 2 * 2 * (-1) - 2^2 = -4 - 4 = -8。 使用欧拉方法： y(2 + 1) ≈ y(2) + dy/dx * Δx。 所以： y(3) = y(2) + (-8) * 1 = -1 + (-8) * 1 = -9。 所以，使用欧拉方法得到的近似值y(3)是-9。 但是在提供的答案选项中没有-9。检查题目，原来是细节问题，这里的"with two steps of equal size" 意味着我们需要将从x=1到x=3这段路程分为两步，也就是说每步的步长是1而不是2。我会重新计算。 1. 对于第一步，当x=1时： dy/dx = (2 * 0) - 1^2 = -1。 y(1 + 0.5) ≈ y(1) + (-1 * 0.5) = 0 - 0.5 = -0.5。 2. 对于第二步，当x=1.5时： dy/dx = (2 * 1.5 * (-0.5)) - 1.5^2 = -1.5 - 2.25 = -3.75。 y(1.5 + 0.5) ≈ y(1.5) + (-3.75 * 0.5) = -0.5 - 1.875 = -2.375。 因此，正确答案应该是y(2) = -2.375。但是这个答案不在所给选项中。作为替代，我们可以比较我们计算出的值-2.375与所提供的答案选项，最接近的值是(B) -7/4。但是这个过程显然有误差，可能我在某个地方计算出错了。我会再次检查计算： 第一步： dy/dx|_{x=1, y=0} = -1。 y(2) = y(1) + (dy/dx * Δx) = 0 + (-1 * 1) = -1。 第二步： dy/dx|_{x=2, y=-1} = 2*2*(-1) - 2*2 = -4 - 4 = -8。 y(3) = y(2) + (dy/dx * Δx) = -1 + (-8 * 1) = -9。 看来先前的计算是正确的。很可能这是题目的误导或者选项错误。由于-9不是这些选项中的一个，这可能意味着我们需要用其他方法来找到正确的答案。欢迎您提供更多细节或检查题目选项是否有误。