Analysis of Different Structured Walls Built with Dice
Jemand hat mit Würfeln diese Mauern gebaut. Milena und Kevin beschreiben die Anzahl Würfel dieser Mauern unterschiedlich.
- Milena: \(2 \times (n + 1)\)
- Kevin: \(3 + 2n\)
Milena und Kevin haben ihre Überlegungen vertauscht.
a) Wer hat wie überlegt?
b) Liefern beide Terme für beliebig lange Mauern die gleiche Anzahl Würfel?
Begründe deine Antwort.
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a) Um herauszufinden, wer wie überlegt hat, schauen wir uns die Struktur der beiden Würfelmauern A und B an. Wir können sehen, dass Mauer A in jeder Ebene 2 Würfel mehr als die Anzahl der Ebenen hat (also für n Ebenen insgesamt \(2 \times (n + 1)\) Würfel). Mauer B hingegen beginnt mit 3 Würfeln an der Basis und wächst dann in jeder neuen Ebene um weitere 2 Würfel (also insgesamt \(3 + 2n\), wobei n die Anzahl der zusätzlichen Ebenen über der Basis ist).
Kevin überlegt daher wie Mauer A, denn seine Formel \(3 + 2n\) repräsentiert das Wachstum von Mauer B. Demgemäß hat Milena wie Mauer B überlegt, da ihre Formel \(2 \times (n + 1)\) die Struktur von Mauer A beschreibt.
b) Um zu prüfen, ob beide Terme für beliebig lange Mauern die gleiche Anzahl Würfel liefern, können wir die Terme gleichsetzen:
\(2 \times (n + 1) = 3 + 2n \)
Verteile das 2 auf der linken Seite der Gleichung:
\(2n + 2 = 3 + 2n\)
Wenn wir jetzt auf beiden Seiten \(2n\) abziehen, wird ersichtlich, dass die Terme nicht übereinstimmen:
\(2 \cancel{2n} + 2 = 3 + \cancel{2n}\)
\(2 \neq 3\)
Das zeigt, dass die Terme nicht für jede Länge n die gleiche Anzahl von Würfeln liefern, weil wenn wir für n=0 beide Formeln auswerten, erhalten wir bei Milena 2 Würfel und bei Kevin 3 Würfel.
Also, die Antwort ist, dass sie nicht für jede Länge n die gleiche Anzahl von Würfeln liefern, und der Grund dafür ist, dass die Basis von Mauer B (welche Kevin beschreibt) bereits mit 3 Würfeln beginnt, im Gegensatz zu Mauer A (welche Milena beschreibt), die mit 2 Würfeln beginnt und dann für jede zusätzliche Ebene um 2 Würfel erhöht wird, unabhängig von der Anzahl der Ebenen.
