Optimizing Extrema Point of Composite Function
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần xác định số điểm cực trị của hàm số \( g(x) = \sqrt[3]{f(x^2+1)} + x \). Số điểm cực trị của hàm số g(x) sẽ phụ thuộc vào số điểm cực tiểu và cực đại của hàm số f(u), với u = x^2+1.
Từ đồ thị của hàm số f(x), chúng ta có thể nhận thấy:
1. Hàm số f(u) có hai điểm cực đại là u = -1 và u = 1.
2. Hàm số f(u) có ba điểm cực tiểu là u = -∞, u = 0 và u = +∞.
Bây giờ, đối với hàm số g(x), để có điểm cực trị thì đạo hàm g'(x) phải tồn tại và bằng 0 hoặc không xác định. Đạo hàm của g(x) liên quan đến đạo hàm của f(u) bởi quy tắc của hàm hợp và đạo hàm của hàm số mũ và hàm số đơn giản:
\[ g'(x) = \frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{f(x^2+1)}\right)' + (x)'\]
Để hàm số g(x) có cực trị thì yêu cầu đạo hàm g'(x) bằng 0 hoặc không xác định, nó sẽ xảy ra khi:
- \( f'(u) = 0 \) cho mọi u = x^2 + 1, tức là khi x^2 + 1 nằm tại các điểm cực trị của hàm số f(u).
- Thêm nữa, do g(x) có x trong biểu thức, nên mỗi giá trị của u = x^2 + 1 sẽ tương ứng với hai giá trị của x (trừ khi x = 0).
Nhìn vào đồ thị f(u), ta thấy:
- U = -1 và u = 1 sẽ không tạo ra giá trị x thỏa mãn vì u = x^2 + 1 luôn dương.
- U = 0 sẽ tạo ra hai giá trị của x là x = -1 và x = 1.
- U = -∞ và u = +∞ sẽ không tạo ra giá trị x cụ thể nào cả.
Như vậy, chúng ta chỉ có một giá trị của u tạo ra điểm cực trị trong g(x) và nó tạo ra hai điểm cực trị cho g(x). Do đó, đáp án chính xác cho câu hỏi này là:
B. 2
