Example Question - derivative sign change

Identifying Local Maximum with First Derivative

根据题目中给出的一阶导数 \(f'(x)\) 的值，我们可以判断函数 \(f(x)\) 在哪个区间上可能达到局部最大值。 局部最大值出现在一阶导数由正变负的点。根据表格，当 \(x\) 从 0 变到 1 时，\(f'(x)\) 由 1 变为 -2，所以这是由正到负的变化。因此，在 \(x = 1\) 处 \(f(x)\) 可能存在局部最大值。所以我们关心的区间至少包括这一点。 因此，答案是选项 (B) (1, 2)，因为这个区间包含了 \(x = 1\) 这点，在 \(x = 1\) 处函数 \(f(x)\) 从增加变为减少，所以这里可能有一个局部最大值。其他区间，包括 (0, 1)、(2, 4) 和 (3, 5)，要么不包含这一点，要么 \(f'(x)\) 的符号没有从正变为负。所以这些区间都不是我们寻找的区间。