Example Question - cube formulas
Here are examples of questions we've helped users solve.
Comparing Two Walls with Different Cube Formulas
Die Frage im Bild fragt nach der Anzahl der Würfel, die verwendet wurden, um zwei verschiedene Mauern zu bauen - Mauer A und Mauer B. Für jede Mauer gibt es eine Formel, die beschreibt, wie die Anzahl der Würfel mit der Anzahl der Säulen zusammenhängt. Mauer A folgt der Formel: \[ Würfel = 2 \times (Säulen - 1) \] Mauer B folgt der Formel: \[ Würfel = 3 \times (Säulen - 1) + 1 \] Teil (a) der Frage fragt, wer mehr Würfel benutzt hat. Um das zu beantworten, müssen wir zuerst die Anzahl der Säulen für jede Mauer zählen. Mauer A hat 5 Säulen und Mauer B hat ebenfalls 5 Säulen. Für Mauer A: \[ Würfel = 2 \times (5 - 1) = 2 \times 4 = 8 \] Für Mauer B: \[ Würfel = 3 \times (5 - 1) + 1 = 3 \times 4 + 1 = 12 + 1 = 13 \] Mauer B hat also mehr Würfel verwendet. Teil (b) fragt nach einer Erklärung, ob beide Formeln für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel vorhersagen. Um das zu erklären, können wir die Formeln generalisieren und feststellen, dass in beiden Fällen die Anzahl der Würfel davon abhängt, wie viele Säulen (minus 1) vorhanden sind. Mauer A benötigt für jede zusätzliche Säule 2 neue Würfel, weil jede neue Säule auf beiden Seiten einen neuen Würfel benötigt, aber der Würfel, an dem sie sich treffen, wird nicht doppelt gezählt. Mauer B, funktioniert ähnlich, hat jedoch an einem Ende einen zusätzlichen Würfel, deswegen das "+ 1" in der Formel. Da beide Formeln auf der Zahl der Säulen basieren und wie Säulen Würfel teilen (bei Mauer A) bzw. einen zusätzlichen Würfel hinzufügen (bei Mauer B), sollten sie für beliebig lange Mauern funktionieren.
Calculating Cubes in Wall Structures
In dem Bild sehen wir zwei verschiedene Würfelmauern und zwei Formeln, jeweils von Milena und Kevin vorgeschlagen, welche die Anzahl der Würfel für die jeweilige Mauer beschreiben. Für jede der zwei Mauern (A und B) müssen wir die Formeln anwenden, um herauszufinden, wer richtig gerechnet hat. Die Formel von Milena lautet: \(2n + k + 1\) Die Formel von Kevin lautet: \(3n + 1\) Die Mauer A sieht aus, als hätte sie 3 Schichten (n = 3). Wir setzen n = 3 in die Formeln ein: Milena: \(2 * 3 + k + 1\) Kevin: \(3 * 3 + 1\) Für Kevin ergibt das: \(3 * 3 + 1 = 9 + 1 = 10\) Bei Milena wissen wir nicht, was \(k\) ist. Wir müssen k so wählen, dass die Anzahl der Würfel für Mauer A herauskommt. Wenn wir uns die Anzahl der Würfel in jeder Schicht von Mauer A ansehen, sehen wir, dass die oberste Schicht 3 Würfel hat, die mittlere 4 und die unterste 5 Würfel. Das sind insgesamt \(3 + 4 + 5 = 12\) Würfel. Wir setzen 12 für die Gesamtsumme der Würfel in Milenas Formel ein und lösen sie für \(k\): \(2n + k + 1 = 12\) \(2 * 3 + k + 1 = 12\) \(6 + k + 1 = 12\) \(7 + k = 12\) \(k = 12 - 7\) \(k = 5\) Kevin hat also mit seiner Formel für n = 3 insgesamt 10 Würfel berechnet, was falsch ist, denn es gibt 12 Würfel. Milena hat mit ihrer Formel unter der Annahme, dass \(k = 5\), ebenfalls 12 Würfel berechnet, was korrekt ist. Für Mauer B gibt es 4 Schichten (n = 4). Wir setzen n = 4 in die Formeln ein: Milena: \(2 * 4 + 5 + 1\) Kevin: \(3 * 4 + 1\) Milena: \(2 * 4 + 5 + 1 = 8 + 6 = 14\) Kevin: \(3 * 4 + 1 = 12 + 1 = 13\) Für Mauer B sehen wir, dass jede Schicht um 1 Würfel größer ist als die Schicht darüber. Die oberste Schicht hat 4 Würfel, und da es 4 Schichten gibt, hat jede weiter unten liegende Schicht jeweils einen Würfel mehr als die oberste. Also haben wir \(4+5+6+7=22\) Würfel. Milena hat 14 Würfel berechnet und Kevin 13 Würfel. Beide sind falsch, da es tatsächlich 22 Würfel gibt. Offensichtlich müssen sie ihre Formeln an die Konstruktion von Mauer B anpassen. A: Milena hat für Mauer A richtig gerechnet, wenn \(k=5\) ist, und Kevin hat falsch gerechnet. B: Beide, Milena und Kevin, haben für Mauer B falsche Formeln und somit eine falsche Anzahl von Würfeln berechnet.
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