Counting Four-Digit Numbers with Unique Digits and Including Digit 4
Die in der Abbildung gestellte Frage lautet, wie viele vierstellige Zahlen es gibt, die:
a) ausschließlich aus unterschiedlichen Ziffern bestehen und
b) die Ziffer 4 enthalten.
Lass uns zuerst Teil a) lösen:
Eine vierstellige Zahl besteht aus den Stellen Tausender, Hunderter, Zehner und Einer. Für jede dieser Stellen können verschiedene Ziffern (0-9) gewählt werden, aber da die Zahlen unterschiedliche Ziffern beinhalten sollen, verringern sich die Optionen mit jeder gewählten Ziffer.
Für die erste Stelle, die Tausenderstelle, kann keine 0 gewählt werden (denn sonst wäre es keine vierstellige Zahl), also bleiben 9 Möglichkeiten (1-9). Für die zweite Stelle bleiben dann noch 9 Möglichkeiten (die 10 minus der bereits gewählten Ziffer für die Tausenderstelle). Für die dritte Stelle bleiben dann 8 Möglichkeiten, und für die vierte Stelle 7.
Die Anzahl der verschiedenen vierstelligen Zahlen, die aus unterschiedlichen Ziffern bestehen, ist also:
9 (Tausender) × 9 (Hunderter) × 8 (Zehner) × 7 (Einer) = 4536.
Nun zu Teil b):
Hier sind wir an vierstelligen Zahlen interessiert, die die Ziffer 4 beinhalten. Wir behandeln die Stelle, an der die 4 gesetzt wird, und die übrigen Stellen separat.
Die Ziffer 4 könnte an einer von vier Stellen stehen, das heißt:
1. Tausenderstelle,
2. Hunderterstelle,
3. Zehnerstelle,
4. Einerstelle.
Für jede dieser Stellen gibt es unterschiedliche Fälle zu betrachten.
1. Wenn die 4 auf der Tausenderstelle ist, können die restlichen drei Stellen aus den Ziffern 0-9 mit Ausnahme der 4 gewählt werden. Das bedeutet, dass für jede der drei Stellen 9 Möglichkeiten existieren, also:
1 (da die 4 fix ist) × 9 (Hunderter) × 9 (Zehner) × 9 (Einer) = 729.
2. Wenn die 4 auf der Hunderterstelle ist, gilt Ähnliches, aber wir müssen berücksichtigen, dass die Tausenderstelle nicht 0 sein darf und auch keine 4 sein darf. Das ergibt also:
1 × 8 × 9 × 9 = 648.
3. Ähnlich verhält es sich, wenn die 4 auf der Zehner- oder Einerstelle steht:
1 × 8 × 8 × 9 = 576 (für die 4 auf der Zehnerstelle)
1 × 8 × 8 × 9 = 576 (für die 4 auf der Einerstelle).
Addierst du all diese Möglichkeiten zusammen, erhältst du die Gesamtanzahl der vierstelligen Zahlen, die die Ziffer 4 beinhalten:
729 + 648 + 576 + 576 = 2529.
Zusammengefasst:
a) Die Anzahl der verschiedenen vierstelligen Zahlen, die aus unterschiedlichen Ziffern bestehen, ist 4536.
b) Die Anzahl der vierstelligen Zahlen, die die Ziffer 4 beinhalten, ist 2529.
