Example Question - counting cubes formula
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Comparing Formulas for Counting Cubes in Walls
In der Aufgabe geht es darum, herauszufinden, wer die Anzahl der Würfel in den beiden Mauern (A und B) korrekt beschrieben hat. Milena gibt die Formel 2 · x + (x + 1) an und Kevin gibt die Formel 3 · x + 1 an. Berechnen wir die Anzahl der Würfel für beide Mauern (A und B) basierend auf den zwei Formeln. Für Mauer A (mit x = 3 sichtbaren Würfeln an der Front): - Nach Milena's Überlegung wäre das: 2 · 3 + (3 + 1) = 6 + 4 = 10 Würfel. - Nach Kevin's Überlegung wäre das: 3 · 3 + 1 = 9 + 1 = 10 Würfel. Für Mauer B (mit x = 4 sichtbaren Würfeln an der Front): - Nach Milena's Überlegung wäre das: 2 · 4 + (4 + 1) = 8 + 5 = 13 Würfel. - Nach Kevin's Überlegung wäre das: 3 · 4 + 1 = 12 + 1 = 13 Würfel. In beiden Fällen liefern die Formeln von Milena und Kevin die gleiche Anzahl von Würfeln. Damit haben beide die Überlegungen vernachlässigt; die Formeln stimmen für diese spezifischen Fälle überein. Um zu entscheiden, wer richtig liegt, müssen wir jedoch die Struktur der Mauern betrachten. Bei Mauer A (und auch bei B) besteht jede zusätzliche Ebene aus einem Würfel mehr als die Ebene darunter. Das bedeutet, dass jeder zusätzliche sichtbare Würfel an der Vorderseite dazu führt, dass die Gesamtanzahl der Würfel um zwei steigt (einer oben drauf und einer dahinter), und es gibt immer einen Würfel mehr als sichtbare Würfel an der Front. Mit diesem Verständnis ist die Formel von Milena (2 · x + (x + 1)) korrekt, weil sie für jede weitere Ebene 2 zusätzliche Würfel und einen Würfel zu Beginn hinzufügt. Kevins Formel (3 · x + 1) suggeriert, dass jede Ebene um 3 Würfel wächst, was nicht der Fall ist, wenn man sich die Struktur der Wände ansieht. Die korrekte Antwort ist: a) Milena hat die Überlegung korrekt angestellt. b) Die Formel von Kevin führt bei beiden Mauern zur gleichen Anzahl von Würfeln, ist aber strukturell nicht korrekt. Mit einer Ausnahme: Beim ersten Würfel (x = 1) würden beide Formeln tatsächlich das gleiche Ergebnis liefern (Milena: 2·1+(1+1) = 4; Kevin: 3·1+1 = 4). Ab der zweiten Ebene (x = 2) liefert die Formel von Kevin jedoch ein zu hohes Ergebnis (Milena: 2·2+(2+1) = 7; Kevin: 3·2+1 = 7), während die Formel von Milena weiterhin die korrekte Anzahl der Würfel wiedergibt.
Comparison of Formulas for Counting Cubes in Walls
Um die Frage zu beantworten, betrachten wir die beiden Formeln, die von Milena und Kevin vorgeschlagen wurden, um die Anzahl der Würfel in den Mauern zu beschreiben. Milenas Formel: \( 2n + 2 \) Kevins Formel: \( 3n + 1 \) Hinweis: \( n \) ist die Anzahl der Würfel in der Basis der Mauer. Für A: - Wir sehen, dass die Basis aus 3 Würfeln besteht, also ist \( n = 3 \). Setzen wir das in Milenas Formel ein: \( 2 \cdot 3 + 2 = 6 + 2 = 8 \) Milena sagt, es gibt 8 Würfel. Setzen wir es nun in Kevins Formel ein: \( 3 \cdot 3 + 1 = 9 + 1 = 10 \) Kevin sagt, es gibt 10 Würfel. Wenn wir zählen, sehen wir, dass die Mauer tatsächlich 10 Würfel hat, also ist Kevins Berechnung hier richtig. Für B: - Die Basis besteht aus 4 Würfeln, also ist \( n = 4 \). Setzen wir das in Milenas Formel ein: \( 2 \cdot 4 + 2 = 8 + 2 = 10 \) Milena sagt, es gibt 10 Würfel. Setzen wir es in Kevins Formel ein: \( 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13 \) Kevin sagt, es gibt 13 Würfel. Zählen wir die Würfel, stellen wir fest, dass die Mauer tatsächlich 13 Würfel hat, und somit ist auch hier Kevins Formel genau. Zusammenfassung: - Kevins Formel gibt die korrekte Anzahl der Würfel für die gezeigten Mauern an, während Milenas Formel eine niedrigere Anzahl von Würfeln ergibt, als tatsächlich vorhanden ist. - Für beliebige lange Mauern wird Kevins Formel weiterhin die korrekte Anzahl an Würfeln liefern, da er die Anzahl der Zusatzwürfel (die in jeder Schicht um 1 zunimmt) korrekt in seine Berechnung einbezieht. Die Aufgabe zeigt also, dass Kevins Formel allgemein gültig ist, um die Anzahl der Würfel für Mauern beliebiger Länge zu bestimmen. Milena hat die Anzahl der Würfel, die hinzugefügt werden müssen, als die Mauern länger werden, nicht korrekt berücksichtigt.
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