Analysis of Formulas for Calculating Cubes in Different Wall Structures
In diesem Bild sehen wir zwei verschiedene Formen von Mauern, die aus Würfeln gebaut wurden. Milena und Kevin haben Formeln aufgestellt, um die Anzahl der Würfel in Abhängigkeit von der Anzahl der sichtbaren Würfelseiten (k) zu berechnen.
Milena's Formel lautet \(2 \cdot k + (k - 1)\). Kevin's Formel lautet \(3 \cdot k - 1\).
Die Fragen beziehen sich auf die Richtigkeit dieser Formeln und wer von beiden die korrekte Formel hat.
Lasst uns die Formeln für beide Mauern A und B analysieren.
Mauer A:
In Mauer A sieht man, dass \(k\) der Anzahl der sichtbaren Würfeloberseiten entspricht. Mauer A wächst horizontal, und zu jeder zusätzlichen Oberseite wird unten und oben ein Würfel hinzugefügt. Die Formel sollte also die Basis-Würfel (2 für jede sichtbare Seite) und die zusätzlichen Würfel für jede erweiterte Seite (jede Seite außer der ersten fügt einen neuen Würfel hinzu, also \(k-1\)) beinhalten.
Milena's Formel \(2 \cdot k + (k - 1)\) gibt uns die Anzahl der Basis-Würfel (\(2 \cdot k\)) und die zusätzlichen Würfel (\(k - 1\)). Diese Formel scheint richtig zu sein.
Kevin's Formel \(3 \cdot k - 1\) scheint nicht korrekt, da es drei Würfel für jede sichtbare Seite zählt, minus einen. Dies würde nicht die richtige Anzahl an Würfeln für Mauer A geben, weil es, wie wir festgestellt haben, zwei Würfel pro sichtbare Seite plus \(k - 1\) zusätzliche Würfel gibt.
Mauer B:
Bei Mauer B wächst die Mauer sowohl horizontal als auch vertikal. Für jede sichtbare Oberseite werden drei Würfel hinzugefügt - einer oben, einer in der Mitte, einer unten - außer für den letzten Würfel, da hier kein weiterer Würfel mehr hinzugefügt wird.
Kevin's Formel \(3 \cdot k - 1\) scheint hier korrekt zu sein, weil genau dieser Wachstumsprozess abgebildet wird.
Milena's Formel \(2 \cdot k + (k - 1)\) würde in diesem Fall nicht die korrekte Anzahl an Würfeln ergeben, da sie für Mauer B zu wenige Würfel berechnet.
Zusammenfassung:
- Milena's Formel ist korrekt für Mauer A.
- Kevin's Formel ist korrekt für Mauer B.
Antwort auf die Fragen:
A: Wer hat wie überlegt?
Milena hat die richtige Anzahl für Mauer A mit ihrer Formel \(2 \cdot k + (k - 1)\) berechnet. Kevin hat die richtige Anzahl für Mauer B mit seiner Formel \(3 \cdot k - 1\) berechnet.
B: Liefern beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel?
Nein. Milena's Formel liefert nur für Mauer A die richtige Anzahl an Würfeln, und Kevin's Formel nur für Mauer B. Keine der Formeln funktioniert für beide Mauertypen.
