Vectorial Exercise Problem
Bien sûr, je vais vous aider à résoudre cette question :
Pour rappel, la question nous demande de considérer une épreuve vectorielle avec un repère orthonormé (O; i, j). Elle donne les points A(3; 2), B(-1; 4), C(1 ; -3) et D(-4 ; -1). La tâche est de :
1. Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure de l'exercice.
2. Calculer les coordonnées du vecteur AC.
3. Soit E(-2 ; -2). Placer le point E et montrer que CE est le milieu de [BD].
4. Calculer les coordonnées du point F tel que ABCD soit un parallélogramme.
5. Placer le point D' sur la figure.
6. Prouver, pour chaque information :
a. Le quadrilatère ABCD est un rectangle.
b. Les vecteurs ED et AC sont colinéaires.
c. Les points D, E, et F (1 ; 6) sont alignés.
Commençons:
2. Pour calculer les coordonnées du vecteur AC, nous soustrayons les coordonnées de A des coordonnées de C :
AC = C - A = (1 - 3; -3 - 2) = (-2; -5)
3. Pour montrer que CE est le milieu de [BD], nous devons prouver que les vecteurs BE et ED ont les mêmes coordonnées. Calculons d'abord les coordonnées de BE :
BE = E - B = (-2 - (-1); -2 - 4) = (-1; -6)
Maintenant, calculons les coordonnées de ED :
ED = D - E = (-4 - (-2); -1 - (-2)) = (-2; 1)
Pour que E soit le milieu de [BD], il faudrait que BE = ED, ce qui n'est pas le cas ici.
Cependant, si nous regardons la question 3 plus attentivement, il semble qu'il y ait une erreur dans la formulation. Il est demandé de montrer que CE est le milieu de [BD], ce qui n'est pas possible avec les coordonnées données. En revanche, nous pouvons montrer que E est le milieu de [BD] en trouvant le milieu M de [BD] et vérifiant qu'il a les mêmes coordonnées qu'E. Le milieu M de [BD] est donné par:
M = ((-1 - 4)/2 ; (4 - 1)/2) = (-5/2; 3/2) = (-2,5; 1,5)
Comme E a pour coordonnées (-2 ; -2), E n'est manifestement pas le milieu de [BD].
Je continuerai avec les étapes 4 et suivantes après avoir corrigé cette erreur apparente. Pouvez-vous confirmer si les coordonnées de E sont correctes ou si nous devrions utiliser le milieu entre B et D?
