Converting Numbers to Decimal Using Horner's Method
Die Aufgabe verlangt, Zahlen, die in anderen Zahlensystemen gegeben sind, in das Dezimalsystem umzurechnen, und zwar sowohl nach dem Hornerverfahren (mit Klammerdarstellung) als auch nach dem Hornerschema.
Ich werde das Hornerverfahren bzw. Hornerschema hier am Beispiel der ersten Zahl (a) demonstrieren, die im oktalen System (Basis 8) dargestellt ist: \( (6543)_8 \).
Das Hornerverfahren (Klammerdarstellung) für das Umrechnen einer Zahl aus einem beliebigen Zahlensystem in das Dezimalsystem ist eine Methode "von links nach rechts", bei der jede Ziffer der Zahl mit der Basis des Systems potenziert und dann in einer geschachtelten Klammer aufsummiert wird. Das schaut so aus:
\( (6543)_8 = 6 \cdot 8^3 + 5 \cdot 8^2 + 4 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 \)
Nun berechnen wir die Potenzen und führen die Multiplikationen durch:
\( = 6 \cdot 512 + 5 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 3 \cdot 1 \)
\( = 3072 + 320 + 32 + 3 \)
Und addieren alles zusammen, um das Ergebnis im Dezimalsystem zu erhalten:
\( = 3072 + 320 + 32 + 3 = 3427 \)
Damit ist die oktale Zahl \( (6543)_8 \) im Dezimalsystem \( 3427 \).
Für das Hornerschema sieht das Prozedere so aus (vom höchsten zum niedrigsten Stellenwert):
\[
\begin{align*}
&\phantom{=} (_8)\downarrow\ \ \ (\times 8) \ \ (\rightarrow) \\
&(6)\ \ \ \ \ \ 6*8+5=53 \\
&(53)\ \ \ \ 53*8+4=428 \\
&(428)\ \ 428*8+3=3427
\end{align*}
\]
Das Ergebnis nach dem Hornerschema ist also ebenfalls \( 3427 \) im Dezimalsystem.
Die anderen Zahlen in der Aufgabe sind entsprechend für ihre jeweiligen Systeme (Binär, Quinary und Hexadezimal) umzurechnen.
