Example Question - confidence interval calculation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating Confidence Interval and Sample Size for Proportion Estimation
Para resolver la parte (A) del Ejercicio 4, se utiliza la fórmula del intervalo de confianza para una proporción de la población. Dado que se nos proporciona un nivel de confianza del 94.5%, podemos calcular el valor crítico de z utilizando la distribución normal estándar, sabiendo que los extremos que acumulan el 5.5% (1 - 0.945) deben repartirse en ambos lados de la distribución, 2.75% o 0.0275 en cada cola. El valor crítico z correspondiente a un área acumulada de 0.9725 (1 - 0.0275) es aproximadamente 1.96 (aunque el valor exacto de z para 94.5% no es comúnmente usado y puede requerir de una tabla de valores z más detallada o de un software estadístico para obtener el valor exacto, asumiré que el ejercicio espera el uso del valor convencional de 1.96). Dados: - \( n = \) tamaño de la muestra = 200 - \( X = \) número de éxitos (personas que apoyan la propuesta) = 114 - \( p = \frac{X}{n} = \frac{114}{200} = 0.57 \) (proporción muestral) El intervalo de confianza se calcula de la siguiente manera: \( \hat{p} \pm z \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \) Donde \( \hat{p} \) es la proporción muestral y \( z \) es el valor crítico de z que representa la confianza deseada. Aplicando estos valores: Error estándar \( = \sqrt{\frac{0.57 \cdot (1 - 0.57)}{200}} \) \( = \sqrt{\frac{0.57 \cdot 0.43}{200}} \) \( = \sqrt{\frac{0.2449}{200}} \) \( = \sqrt{0.0012245} \) \( ≈ 0.035 \) Por lo tanto, el intervalo de confianza es: \( 0.57 \pm 1.96 \cdot 0.035 \) \( 0.57 \pm 0.0686 \) Calculando los extremos del intervalo obtenemos: Límite inferior: \( 0.57 - 0.0686 = 0.5014 \) o 50.14% Límite superior: \( 0.57 + 0.0686 = 0.6386 \) o 63.86% Por tanto, el intervalo de confianza al 94.5% es aproximadamente desde 50.14% hasta 63.86%. Para la parte (B), se pide calcular el tamaño de la muestra para obtener un intervalo de confianza con un error específico y una confianza determinada. Se utiliza la fórmula para el tamaño de la muestra en función del error máximo permisible (\( E \)): \[ n = \left(\frac{z \cdot \sqrt{p(1 - p)}}{E}\right)^2 \] Por la información dada, sabemos que: - \( E = \) error máximo permisible = 5.29% o 0.0529 - \( z \) para un nivel de confianza del 98.7% es aproximadamente 2.17 (esto debe ser comprobado en una tabla de valores z adecuada o con software estadístico, ya que 98.7% es un porcentaje no estándar pero para simplificar asumiré este valor de z) - \( p = 0.57 \) (proporción estimada como en la parte A) Calculamos \( n \): \[ n = \left(\frac{2.17 \cdot \sqrt{0.57(1 - 0.57)}}{0.0529}\right)^2 \] \[ n = \left(\frac{2.17 \cdot \sqrt{0.2449}}{0.0529}\right)^2 \] \[ n = \left(\frac{2.17 \cdot 0.4949}{0.0529}\right)^2 \] \[ n = \left(\frac{1.0745}{0.0529}\right)^2 \] \[ n = (20.2991)^2 \] \[ n ≈ 412.0651 \] El tamaño de la muestra requerido sería de aproximadamente 413 votantes (redondeando al siguiente número entero más grande, ya que no se pueden tener fracciones de un votante).
Calculating 95% Confidence Interval for Mean Weight of Pretzel Bags
To find the 95% confidence interval for the mean weight of the pretzel bags, we can use the formula for the confidence interval for a mean when the population standard deviation is not known and the sample size is small (n < 30). Since we're dealing with a small sample size (n = 7), we'll use the t-distribution: Confidence Interval (CI) = \(\bar{x} \pm t_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\) where: - \(\bar{x}\) is the sample mean, - \(t_{\alpha/2}\) is the t-value that corresponds to the \( \frac{\alpha}{2} \) percentile of the t-distribution with \(n - 1\) degrees of freedom, - \(s\) is the sample standard deviation, and - \(n\) is the sample size. Given that: - The sample mean, \(\bar{x}\), is 15.2 oz, - The sample standard deviation, \(s\), is 0.7 oz, and - The sample size, \(n\), is 7. We need to find the t-value for a 95% confidence interval and 6 degrees of freedom (since \(n - 1 = 7 - 1 = 6\)). Typically, you would use a t-distribution table or statistical software to find this value. For a 95% confidence interval, we look up the value \(t_{0.025}\) since the two tails (alpha/2) of the curve each have 2.5% of the area. Assuming a t-value of around 2.447 (you'll want to confirm this value using a t-distribution table or software), we can then calculate the confidence interval: CI = \(15.2 \pm 2.447 \cdot \frac{0.7}{\sqrt{7}}\) First calculate the margin of error (\(ME\)): \(ME = 2.447 \cdot \frac{0.7}{\sqrt{7}}\) \(ME = 2.447 \cdot \frac{0.7}{2.64575}\) \(ME = 2.447 \cdot 0.2642\) \(ME ≈ 0.6465\) Now calculate the confidence interval bounds: Lower bound = \(15.2 - 0.6465\) Lower bound ≈ \(14.5535\) Upper bound = \(15.2 + 0.6465\) Upper bound ≈ \(15.8465\) The 95% confidence interval is therefore approximately (14.5535, 15.8465). Looking at the options provided: a) 14.6 to 15.8 b) 13.4 to 17.0 c) 14.7 to 15.7 d) 14.4 to 16.0 The confidence interval we calculated is approximately 14.55 to 15.85, which makes option a) 14.6 to 15.8 the closest to our calculated interval and is thus the correct answer.
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