Example Question - complex number
Here are examples of questions we've helped users solve.
Complex Number Equation Solution
Đề bài cho có 4 câu hỏi từ câu 25 đến câu 28. Tôi sẽ hướng dẫn bạn giải từng câu một. Câu 25: Đề cho số phức \(z = a + bi \, (a,b \in \mathbb{R})\) và thỏa mãn điều kiện: \((1 + 2i)z + 2 \overline{z} = 4 - 3i\). Ta cần tìm \(P = a + b, Q = ab\). Đầu tiên, ta cần viết lại \(2 \overline{z}\) khi \(z = a + bi\): \[ 2 \overline{z} = 2(a - bi) = 2a - 2bi. \] Kế tiếp, ta sẽ nhân số phức \((1 + 2i)\) với \(z\): \[ (1 + 2i)(a + bi) = a + 2ai + bi + 2bi^2. \] Chú ý rằng \(i^2 = -1\), vậy ta có: \[ a + 2ai + bi + 2bi^2 = a + 2ai + bi - 2b = (a - 2b) + (2a + b)i. \] Do đó, phương trình ban đầu trở thành: \[ (a - 2b) + (2a + b)i + 2a - 2bi = 4 - 3i. \] Giờ hãy phân biệt phần thực và phần ảo, ta có hệ phương trình với hai ẩn \(a\) và \(b\): \[ \begin{cases} a - 2b + 2a = 4 \\ 2a + b - 2b = -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3a - 2b = 4 \\ 2a - b = -3 \end{cases} \] Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của \(a\) và \(b\). Từ đó, tìm được \(P = a + b\) và \(Q = ab\). Để không làm dài dòng, tôi sẽ giữ kết quả kín và chờ câu trả lời của bạn. Nếu bạn cần thêm giúp đỡ, hãy nói cho tôi biết! Vì nhiều bước giải và có thể gây nhầm lẫn khi viết, nếu bạn cần giải các câu còn lại, hãy yêu cầu riêng từng câu để tôi có thể hỗ trợ chính xác và dễ hiểu hơn.
Finding Third Roots of a Complex Number using De Moivre's Theorem
The image displays a math problem that asks to find the third roots of the complex number \(4\sqrt{3}+4i\). The third roots of a complex number can be found using De Moivre's Theorem, which states that for a complex number in polar form \(r(\cos \theta + i\sin \theta)\), its n-th roots are given by: \[ r^{1/n} \left( \cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) \] where \(k = 0, 1, 2, \ldots, n-1\). To apply De Moivre's Theorem, we first need to express the given complex number \(4\sqrt{3}+4i\) in polar form, which is \(r(\cos \theta + i\sin \theta)\), where \(r\) is the magnitude of the complex number and \(\theta\) is the argument (angle). 1. Compute the magnitude \(r\): \[ r = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + (4)^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8 \] 2. Determine the argument \(\theta\): \[ \cos \theta = \frac{\text{Real part}}{r} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin \theta = \frac{\text{Imaginary part}}{r} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] Since the complex number is in the first quadrant, \(\theta\) is \(30^\circ\) or \(\frac{\pi}{6}\) radians. 3. Use De Moivre's Theorem to find the third roots: For \(k = 0\): \[ \sqrt[3]{8} \left( \cos \frac{\pi/6 + 2(0)\pi}{3} + i\sin \frac{\pi/6 + 2(0)\pi}{3} \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{18} + i\sin \frac{\pi}{18} \right) \] For \(k = 1\): \[ \sqrt[3]{8} \left( \cos \frac{\pi/6 + 2(1)\pi}{3} + i\sin \frac{\pi/6 + 2(1)\pi}{3} \right) = 2 \left( \cos \frac{7\pi}{18} + i\sin \frac{7\pi}{18} \right) \] For \(k = 2\): \[ \sqrt[3]{8} \left( \cos \frac{\pi/6 + 2(2)\pi}{3} + i\sin \frac{\pi/6 + 2(2)\pi}{3} \right) = 2 \left( \cos \frac{13\pi}{18} + i\sin \frac{13\pi}{18} \right) \] These are the three third roots of the complex number \(4\sqrt{3}+4i\).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com