Example Question - common divisor calculation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Number of Divisors and Prime Factorization
Der erste Teil der Frage lautet: "Wie viele Teiler hat \( 351(1500, 49500)? \)" Um diese Frage zu beantworten, müssen wir zuerst \( (1500, 49500) \) berechnen, was den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von 1500 und 49500 bezeichnet. Beginnen wir mit dem Finden des ggT von 1500 und 49500. \( 1500 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \) \( 49500 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11 \) Der ggT von 1500 und 49500 ist das Produkt der kleinsten Potenzen ihrer gemeinsamen Primfaktoren: \( \text{ggT}(1500, 49500) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300 \) Jetzt berechnen wir die Anzahl der Teiler von \( 351 \cdot 300 \). \( 351 = 3^3 \cdot 13 \) \( 300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \) Wenn wir diese beiden Zahlen multiplizieren, erhalten wir: \( 351 \cdot 300 = 3^4 \cdot 13 \cdot 2^2 \cdot 5^2 \) Um die Anzahl der Teiler einer Zahl zu finden, erhöht man jeden Exponenten in ihrer Primfaktorzerlegung um eins und multipliziert dann diese erhöhten Exponenten miteinander. Die Anzahl der Teiler ist also: \((4+1) \cdot (1+1) \cdot (2+1) \cdot (2+1) = 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 90\) Die Antwort auf die erste Frage ist, dass \( 351(1500, 49500) \) insgesamt 90 Teiler hat. Der zweite Teil besteht aus mehreren Unterfragen, bei denen eine Zahl genau 18 Teiler hat. Ich werde sie einzeln beantworten. a. Wie viele verschiedene Primfaktoren kann die Zahl haben? Eine Zahl kann auf verschiedene Weise 18 Teiler haben, je nach Kombination der Primfaktoren und ihren Exponenten. Da 18 als \(18 = 2 \cdot 3^2 = 1 \cdot 18 = 2 \cdot 9\) geschrieben werden kann, ergeben sich mehrere Möglichkeiten für die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren: - Ein Primfaktor mit dem Exponenten 17 (da \(17+1 = 18\)), also nur ein Primfaktor. - Zwei Primfaktoren, wobei einer den Exponenten 1 und ein anderer den Exponenten 8 hat (da \(1+1=2\) und \(8+1=9\), und \(2 \cdot 9 = 18\)). - Drei Primfaktoren, wobei einer den Exponenten 1, ein anderer den Exponenten 2 und ein dritter den Exponenten 4 hat (da \(1+1=2\), \(2+1=3\), und \(4+1=5\), und \(2 \cdot 3 \cdot 5 = 18\)). Deshalb kann eine Zahl mit genau 18 Teilern entweder 1, 2, oder 3 verschiedene Primfaktoren haben. b. Was ist die kleinste Zahl mit genau 18 Teilern? Die kleinste Zahl mit genau 18 Teilern erhält man durch die Verwendung der kleinsten Primzahlen mit den notwendigen Exponenten. Aus den oben erklärten Kombinationen wählen wir diejenige, die die kleinste Zahl ergibt, d.h. drei verschiedene Primfaktoren mit den Exponenten 1, 2 und 4. Verwendet man die kleinsten Primzahlen \(2\), \(3\), und \(5\), ergibt sich: \(2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720\) Die kleinste Zahl mit genau 18 Teilern ist also 720. c. Was ist die zweitkleinste Zahl mit genau 18 Teilern? Um die zweitkleinste Zahl zu finden, suchen wir die nächstgrößere Kombination von Primzahlen nach der kleinsten Kombination, die wir bereits gefunden haben. Für die zweitkleinste Zahl behalten wir die Primzahlen \(2\) und \(3\), aber ersetzen \(5\) durch die nächstgrößere Primzahl \(7\), da sie die nächstgrößere Zahl als Exponenten von 1 haben soll. \(2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^1 = 16 \cdot 9 \cdot 7 = 1008\) Die zweitkleinste Zahl mit genau 18 Teilern ist also 1008. d. Was ist die größte Zahl mit genau 18 Teilern? Um die größte Zahl mit 18 Teilern zu finden, sollten wir die größte gültige Kombination von Exponenten verwenden. Dies wäre, wenn wir nur einen Primfaktor haben: Für \(p^{17}\), wobei \(p\) die kleinste Primzahl ist, also \(2\), da \(17+1 = 18\). \(2^{17} = 131072\) Also ist 131072 die größte Zahl mit genau 18 Teilern, wenn wir nur einen Primfaktor zulassen. Mit mehr als einem Primfaktor können wir keine größere Zahl erhalten, da die Hinzufügung eines weiteren Faktors zwangsläufig zu einer Verminderung eines der Exponenten führen würde, was die Gesamtgröße der Zahl verringern würde.
Maximizing Fruit Packing Efficiency
El ejercicio solicita que se empacan 12,028 manzanas y 12,772 naranjas en cajas de tal manera que cada caja contenga el mismo número de manzanas y naranjas, además de que este número sea el mayor posible. Esto nos indica que debemos buscar el máximo común divisor (MCD) de ambos números para encontrar el número de frutas que podrá contener cada caja y así también determinar el número de cajas necesarias. Para encontrar el MCD de 12,028 y 12,772, podemos usar el algoritmo de Euclides: 1. Dividimos el número mayor entre el número menor: 12,772 ÷ 12,028 = 1, con un residuo de 744 2. Dividimos el divisor anterior (12,028) entre el residuo (744): 12,028 ÷ 744 = 16, con un residuo de 140 3. Continuamos el proceso utilizando el residuo anterior (744) como divisor y el nuevo residuo (140) como dividendo: 744 ÷ 140 = 5, con un residuo de 44 4. Continuamos el proceso utilizando el residuo anterior (140) como divisor y el nuevo residuo (44) como dividendo: 140 ÷ 44 = 3, con un residuo de 8 5. Continuamos el proceso utilizando el residuo anterior (44) como divisor y el nuevo residuo (8) como dividendo: 44 ÷ 8 = 5, con un residuo de 4 6. Continuamos el proceso utilizando el residuo anterior (8) como divisor y el nuevo residuo (4) como dividendo: 8 ÷ 4 = 2, con un residuo de 0 Cuando llegamos a un residuo de 0, significa que el último divisor (4 en este caso) es el MCD de los dos números originales. Entonces, cada caja puede contener 4 manzanas y 4 naranjas. Ahora, dividimos el número total de manzanas y naranjas por 4 para obtener el número de cajas necesarias: - Manzanas: 12,028 ÷ 4 = 3,007 cajas - Naranjas: 12,772 ÷ 4 = 3,193 cajas Esto significa que necesitaremos un total de 3,007 cajas para las manzanas y 3,193 cajas para las naranjas, y cada caja contendrá 4 manzanas y 4 naranjas, respectivamente.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com