Example Question - combinatorics formula
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating the Number of Team Combinations for a Sports Competition
Die gegebene Aufgabe lautet: "In einer Sportmannschaft sind 15 Sportler. Zu einem Wettkampf sollen ein 4er Team antreten. Wie viele Möglichkeiten hat der Trainer, um sein Wettkampfteam zusammen zu stellen?" Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, wie man 4 Sportler aus der Gruppe von 15 auswählen kann. Das ist ein Kombinatorikproblem, das wir mit der Kombinationsformel lösen können: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \] Hier steht \( n \) für die Gesamtzahl der verfügbaren Objekte (in diesem Fall Sportler), und \( k \) steht für die Anzahl der Objekte, die ausgewählt werden sollen. Die Formel für unser Problem sieht also wie folgt aus: \[ C(15, 4) = \frac{15!}{4!(15 - 4)!} = \frac{15!}{4!11!} \] Dann berechnen wir: \[ C(15, 4) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \] Das Kürzen ergibt dann: \[ C(15, 4) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{15}{3} \times \frac{14}{2} \times 13 \times 12 = 5 \times 7 \times 13 \times 12 \] \[ C(15, 4) = 5 \times 7 \times 13 \times 12 = 35 \times 156 = 5460\] Der Trainer hat also 5460 verschiedene Möglichkeiten, sein Wettkampfteam aus 4 Sportlern zusammenzustellen.
Handshake Problem and Combinatorics Formula
Um diese Frage zu beantworten, nutzen wir die Formel für eine Handshake-Aufgabe. Das Problem wird auch als Handshake-Problem bezeichnet und kommt aus dem Bereich der Kombinatorik, einem Teilgebiet der Mathematik. Wenn jede Person genau einmal mit jeder anderen Person anstößt, entspricht dies der Anzahl der Kombinationen von 23 Personen, die in Zweiergruppen eingeteilt werden können. Die Formel für die Anzahl der Kombinationen ist: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] wo \( n \) die Gesamtzahl der Personen ist, \( k \) die Gruppengröße (in diesem Fall 2, da das Anstoßen zwischen 2 Personen passiert), und \( ! \) steht für die Fakultät, also die Multiplikation aller positiven ganzen Zahlen bis zu dieser Zahl. Für unser Problem sieht die Rechnung so aus: \[ C(23, 2) = \frac{23!}{2!(23-2)!} = \frac{23 \times 22}{2 \times 1} = 23 \times 11 = 253 \] Also würde man das Glas insgesamt 253 Mal klingen hören, wenn jeder der 23 Gäste genau einmal mit jedem anderen anstößt.
Mathematical Situations and Team Combinations
Die Aufgabe scheint aus einem Mathematikbuch zu stammen, und es geht darum, zwei passende Situationen für vier verschiedene mathematische Terme zu finden und die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, ein Wettkampfteam zusammenzustellen. Da die Frage nach Situationen für die Terme eher subjektiv ist und kreative Antworten erfordert, kann ich Beispiele geben, ohne eine einzige korrekte Lösung zu behaupten. Hier sind Vorschläge für die Terme in Aufgabenteil 4: a. \( 5^2 \) 1. Situation: Die Anzahl der möglichen Ergebniskombinationen beim Würfeln mit zwei würfeln, wobei jeder die Zahlen 1 bis 5 anzeigt. 2. Situation: Die Gesamtzahl der Quadrate auf einem Schachbrett, das nur aus 5x5 Feldern besteht. b. \( 3^2+1 \) 1. Situation: Die Anzahl der Sitzplätze in einem kleinen Kino, das 3 Sitzreihen mit je 3 Sitzen hat, plus der Sitzplatz des Filmvorführers. 2. Situation: Die Gesamtanzahl der Äpfel, die jemand hat, wenn er zuerst 3 Äpfel in 3 Stapeln aufteilt und dann einen weiteren Apfel bekommt. c. \( 9*8*7*6*5 \) 1. Situation: Die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, wie man eine Perlenkette mit 5 Perlen aus einer Auswahl von 9 verschiedenen Perlen gestalten kann, ohne Wiederholungen und ohne zu berücksichtigen, dass die Kette umgedreht werden kann. 2. Situation: Die Anzahl der unterschiedlichen Wege, in denen ein Organisator fünf verschiedene Preise unter den ersten acht Teilnehmern eines Wettbewerbs verteilen könnte. d. \( \binom{5}{3} \) 1. Situation: Die Anzahl der verschiedenen Wege, auf denen drei Schüler aus einer Gruppe von fünf Schülern für ein Schulprojekt ausgewählt werden können. 2. Situation: Die Anzahl der möglichen Dreier-Teams, die aus einer Gruppe von fünf Basketballspielern für ein Drei-gegen-drei-Trainingsspiel gebildet werden können. Für die Aufgabe 5, in einer Sportmannschaft sind 15 Sportler, und der Trainer möchte vier für ein Team auswählen. Die Anzahl der Kombinationen wäre die Anzahl der Möglichkeiten, 4 Sportler aus einer Gruppe von 15 zu wählen, ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen. Dies kann mit der Kombinatorik-Formel für Kombinationen berechnet werden: \[ \binom{15}{4} = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365 \] Also gibt es 1365 Möglichkeiten für den Trainer, sein Wettkampfteam zusammenzustellen.
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