Example Question - combinatorial problems
Here are examples of questions we've helped users solve.
Combinatorial Problems: Ice Cream and Multiple-Choice Tests
Die Aufgabenstellung fordert uns auf, das systematische Zählen anzuwenden, um zwei verschiedene Problemstellungen zu bearbeiten: 1. Es geht um Eisbecher, die mit verschiedenen Kombinationen von Eissorten und Toppings erstellt werden können. Man kann zwischen drei Eissorten (Vanille, Schoko, Zitrone) und vier Obstsorten (Himbeere, Erdbeere, Banane, gemischtes Obst) wählen. Der Eisbecher wird entweder mit Sahne oder Schokostreuseln dekoriert. Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, nutzen wir das Prinzip des Zählens. Für jede Eissorte gibt es vier Obstsorten und für jede dieser Kombinationen gibt es zwei Dekorationsoptionen (Sahne oder Schokostreuseln). Das heißt, für jede Eissorte gibt es \[4 \text{ Obstsorten} \times 2 \text{ Dekorationsoptionen} = 8 \text{ Kombinationen}.\] Da es drei Eissorten gibt, ist die Anzahl der Gesamtkombinationen: \[3 \text{ Eissorten} \times 8 \text{ Kombinationen pro Eissorte} = 24 \text{ Kombinationen}.\] Es gibt also 24 Möglichkeiten, den Eisbecher zusammenzustellen. 2. In einem Multiple-Choice-Test gibt es 4 Fragen, und jede Frage hat 3 mögliche Antworten, aber nur eine Antwort pro Frage ist richtig. Ein Teilnehmer kreuzt bei allen 4 Fragen immer eine zufällige Antwort an. a) Die Chance, dass er rein zufällig alle Fragen richtig beantwortet, wäre: Für jede Frage gibt es eine Chance von \(\frac{1}{3}\), die richtige Antwort zu wählen (da es 3 Optionen gibt). Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass alle vier Fragen richtig beantwortet werden, multiplizieren wir die Chancen für jede einzelne Frage: \[\left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}.\] b) Die Chance, rein zufällig alle Fragen falsch zu beantworten, ist nicht direkt gegeben, denn wenn er bei jeder Frage zufällig wählt, gibt es immer die Möglichkeit, dass er eine oder mehrere Fragen richtig beantwortet. Diese Frage kann nicht beantwortet werden, ohne zusätzliche Annahmen zu machen. c) Die Chance, mindestens eine Frage richtig zu beantworten, berechnen wir, indem wir die Wahrscheinlichkeit, alle Fragen falsch zu beantworten, von 1 abziehen. Allerdings wurde in dieser Frage die Wahrscheinlichkeit, alle Fragen falsch zu beantworten, nicht definiert. Was wir stattdessen berechnen können, ist die Chance, nicht alle Fragen falsch zu beantworten (also mindestens eine richtig): \[1 - \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 1 - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}.\] Hier nehmen wir an, dass die falsche Antwort für jede Frage bei \(\frac{2}{3}\) liegt. d) Die Chance, mindestens die Hälfte aller Fragen richtig zu beantworten, erfordert eine detailliertere Berechnung, die verschiedene Szenarien (zwei oder drei oder vier richtige Antworten) einzeln betrachtet und dann die Wahrscheinlichkeiten addiert. Diese Berechnung ist komplizierter und erfordert Binomialkoeffizienten oder andere Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die über den Rahmen dieser Anleitung hinausgehen.
Combinatorial Problems in Ordering Students
Die Aufgabe stellt mehrere kombinatorische Probleme dar, die sich auf eine Schulklasse mit 26 Schülern beziehen, die sich in einer Reihe aufstellen sollen. Hier sind die Lösungen für jede Teilaufgabe: a) Wie viele unterschiedliche Reihen sind möglich? Da es sich um 26 Schüler handelt und die Reihenfolge, in der sie stehen, von Bedeutung ist, handelt es sich hierbei um eine Permutation von 26 verschiedenen Elementen. Die Anzahl der möglichen unterschiedlichen Reihen ist daher 26!, was bedeutet, dass man 26 Fakultät berechnen muss, also das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis 26. b) Wie viele unterschiedliche Reihen sind möglich, wenn Schüler A unbedingt vorne stehen möchte und Schüler B unbedingt hinten stehen möchte? Hier sind zwei Positionen festgelegt: A an der ersten Position und B an der letzten Position. Damit verbleiben 24 Schüler, deren Anordnung variiert werden kann. Das entspricht einer Permutation von 24 verschiedenen Elementen. Die Anzahl der möglichen unterschiedlichen Reihen beträgt somit 24!. c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn Schüler C und D unbedingt nebeneinander stehen möchten? Für dieses Szenario können wir C und D als eine Einheit betrachten, da sie nebeneinander stehen wollen. Das gibt uns 25 "Einheiten" (die 24 anderen Schüler plus die "Einheit" von C und D zusammen). Es gibt 25! Möglichkeiten, diese Einheiten anzuordnen. Zusätzlich können C und D intern auf 2! (2 mögliche Anordnungen) Weisen vertauscht werden. Das ergibt 25! * 2!. d) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn Schüler C und D sowie Schüler E und F unbedingt nebeneinander stehen möchten? Ähnlich wie bei Teil c) werden die Paare C und D sowie E und F jeweils als einzelne Einheiten behandelt. Das bedeutet, wir reduzieren die Anzahl der Einheiten auf 24 (22 anderen Schüler + 2 Paare). Es gibt also 24! Möglichkeiten, die Einheiten anzuordnen. Jedes Paar kann unter sich auf 2! Arten angeordnet werden, also insgesamt 2! * 2! für beide Paare. So ergibt sich die Gesamtanzahl der Möglichkeiten als 24! * 2! * 2!.
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