Counting Possible Combinations of Marbles in a Bag
Die Frage lautet: "Eine Tüte soll mit 10 Murmeln bestückt werden. Dafür sind je 10 grüne, blaue und rote Murmeln vorrätig. Wie viele mögliche Zusammensetzungen der Tüte gibt es?"
Dies ist ein kombinatorisches Problem, das wir mit der Methode der sogenannten "Stars and Bars" (auch bekannt als "Balls and Urns") lösen können. Die Grundidee besteht darin, dass wir die 10 Murmeln, die wir in die Tüte legen können, als identische Objekte betrachten und die Farben der Murmeln als unterschiedliche Kategorien.
Da es keine Begrenzung gibt, wie viele Murmeln einer bestimmten Farbe in der Tüte sein können (solange die Gesamtzahl der Murmeln 10 beträgt und keine Farbe mehr als 10 Murmeln hat), können wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen, in der sie ausgewählt wurden.
Die Formel für die Anzahl der Lösungen lautet:
(Kombinationen mit Zurücklegen) = (n + k - 1) über k
wobei "n" die Anzahl der zu wählenden Objekte (Murmel) und "k" die Anzahl der Kategorien (Farben) ist.
In diesem Fall möchten wir 10 Murmeln (n = 10) in 3 Kategorien (k = 3, nämlich grün, blau, rot) unterbringen, sodass die Formel lautet:
(10 + 3 - 1) über 3
Berechnen wir das:
(12 über 3) = (12!)/((12-3)! * 3!) = (12!)/(9! * 3!)
(12!) bedeutet 12 Faktorielle, das ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu 12: 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1
Also:
(12 * 11 * 10)/(3 * 2 * 1) = 220
Es gibt 220 mögliche Kombinationen von 10 Murmeln, die aus 10 grünen, 10 blauen und 10 roten Murmeln ausgewählt werden können.
