Example Question - centroid
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding the General Coordinates of a Point in a Triangle
<p>Let the coordinates of A be $(x_1, y_1, z_1)$ and B be $(x_2, y_2, z_2)$, and let C be $(x_3, y_3, z_3)$. The centroid G of triangle ABC has coordinates given by:</p> <p>$G \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right)$</p> <p>Given that G is at (1, 1, 1), we have:</p> <p>$1 = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}$</p> <p>$1 = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}$</p> <p>$1 = \frac{z_1+z_2+z_3}{3}$</p> <p>Given the coordinates of A $(x_1, y_1, z_1) = (3, -5, 7)$ and B $(x_2, y_2, z_2) = (-1, 7, 6)$, we can substitute them into the equations:</p> <p>$1 = \frac{3 - 1 + x_3}{3}$</p> <p>$1 = \frac{-5 + 7 + y_3}{3}$</p> <p>$1 = \frac{7 + 6 + z_3}{3}$</p> <p>Now solve for $x_3, y_3, z_3$:</p> <p>$1 = \frac{2 + x_3}{3}$ -> Multiply both sides by 3 -> $3 = 2 + x_3$ -> $x_3 = 1$</p> <p>$1 = \frac{2 + y_3}{3}$ -> Multiply both sides by 3 -> $3 = 2 + y_3$ -> $y_3 = 1$</p> <p>$1 = \frac{13 + z_3}{3}$ -> Multiply both sides by 3 -> $3 = 13 + z_3$ -> $z_3 = -10$</p> <p>Thus, the coordinates of point C are $(x_3, y_3, z_3) = (1, 1, -10)$.</p>
Calculation of Trigonometric Expression and Centroid Coordinates
<p>\text{For the trigonometric expression:}</p> <p>\sin(105^\circ) + \cos(105^\circ) = \sin(60^\circ+45^\circ) + \cos(60^\circ+45^\circ)\</p> <p>\text{Using the sine and cosine addition formulas:}</p> <p>\sin(A+B) = \sin{A}\cos{B} + \cos{A}\sin{B}</p> <p>\cos(A+B) = \cos{A}\cos{B} - \sin{A}\sin{B}</p> <p>\text{Substitute } A = 60^\circ \text{ and } B = 45^\circ:</p> <p>\sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ) + \cos(60^\circ)\cos(45^\circ) - \sin(60^\circ)\sin(45^\circ)\</p> <p>\text{Using known values of sine and cosine for } 60^\circ \text{ and } 45^\circ:</p> <p>\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}</p> <p>\text{Simplify the expression:}</p> <p>\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}</p> <p>\text{The terms with } \sqrt{6} \text{ cancel out, so we are left with:}</p> <p>\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}</p> <p>\text{For the centroid coordinates:}</p> <p>\text{Let the coordinates of } C \text{ be } (x_C, y_C). \text{ The centroid coordinates (G) can be found by:}</p> <p>G_x = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, G_y = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}</p> <p>\text{Substitute the given values with } G (1,1,1):</p> <p>1 = \frac{3 + (-1) + x_C}{3}, 1 = \frac{-5 + (-7) + y_C}{3}</p> <p>\text{Solve for } x_C \text{ and } y_C:</p> <p>x_C = 3 - (3 + (-1)) = 3 - 2 = 1</p> <p>y_C = 3 - (-5 -7) = 3 + 12 = 15</p> <p>\text{So, the coordinates of point C are } (1, 15).</p> <p>\text{For the trigonometric identity:}</p> <p>\cot{(\theta)} + \tan{(\theta)} = 2\csc{(\theta)}</p> <p>\text{Using the identities } \cot{(\theta)} = \frac{1}{\tan{(\theta)}} \text{ and } \csc{(\theta)} = \frac{1}{\sin{(\theta)}}, \text{ we get:}</p> <p>\frac{1}{\tan{(\theta)}} + \tan{(\theta)} = \frac{2}{\sin{(\theta)}}</p> <p>\text{Multiply by } \tan{(\theta)}\sin{(\theta)} \text{ to clear the denominators:}</p> <p>\sin{(\theta)} + \tan^2{(\theta)}\sin{(\theta)} = 2\tan{(\theta)}</p> <p>\text{Use the identity } \sin^2{(\theta)} + \cos^2{(\theta)} = 1 \text{ to express } \tan{(\theta)} \text{ in terms of } \sin{(\theta)}:</p> <p>\tan{(\theta)} = \frac{\sin{(\theta)}}{\cos{(\theta)}}, \text{ so }</p> <p>\sin{(\theta)} + \frac{\sin^3{(\theta)}}{\cos^2{(\theta)}} = 2\frac{\sin{(\theta)}}{\cos{(\theta)}}</p> <p>\text{Multiply by } \cos^2{(\theta)} \text{ to clear the denominators:}</p> <p>\sin{(\theta)}\cos^2{(\theta)} + \sin^3{(\theta)} = 2\sin{(\theta)}\cos{(\theta)}</p> <p>\text{Rearrange and factor out } \sin{(\theta)}:</p> <p>\sin{(\theta)}(\cos^2{(\theta)} - 2\cos{(\theta)} + \sin^2{(\theta)}) = 0</p> <p>\text{Since } \sin{(\theta)} = 0 \text{ leads to no solution that satisfies the original equation, focus on:}</p> <p>\cos^2{(\theta)} - 2\cos{(\theta)} + \sin^2{(\theta)} = 0</p> <p>\text{Using } \sin^2{(\theta)} = 1 - \cos^2{(\theta)}:</p> <p>\cos^2{(\theta)} - 2\cos{(\theta)} + (1 - \cos^2{(\theta)}) = 0</p> <p>-2\cos{(\theta)} + 1 = 0</p> <p>\cos{(\theta)} = \frac{1}{2}</p> <p>\text{Hence, the general values of } \theta \text{ can be } 60^\circ + n360^\circ \text{ or } 300^\circ + n360^\circ, \text{ where } n \text{ is an integer.}</p>
Triangle Geometry Problem: Centroid and Ratios
Từ hình ảnh cung cấp, chúng ta có câu hỏi để giải là Câu 36: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=AC. Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC. Tỉ số CD/AD là bao nhiêu? Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần áp dụng một số kiến thức về hình học. Ta biết rằng: 1. Trong một tam giác vuông, trọng tâm nằm trên đường trung tuyến ứng với cạnh huyền và cách cạnh huyền một khoảng là $\frac{1}{3}$ độ dài cạnh huyền. 2. Cạnh huyền đồng thời là đường trung tuyến của tam giác vuông cân (vì AB = AC), vậy nên AO = $\frac{1}{2}$ BC. 3. Trong tam giác vuông cân, độ dài đường cao bằng độ dài đường trung tuyến của cạnh góc vuông. 4. Trọng tâm chia đường trung tuyến thành phần tỉ lệ 1:2, tính từ đỉnh đến cạnh đối diện. Trên hình vẽ, DO là đường trung tuyến từ đỉnh D của tam giác DBC đến cạnh BC. Vì DBC là tam giác vuông cân tại D (do tam giác ABC vuông cân tại A và AD là đường cao), DO cũng chính là đường cao của tam giác DBC. Nếu ta xét tam giác DAO, có DO là đường cao và AO là đường trung tuyến, nó cũng là một tam giác vuông cân. Vì trọng tâm chia đường trung tuyến AO với tỉ lệ 1:2 (tính từ A), ta có AO = 2OD. Mà DO là đường cao của tam giác vuông cân DAO, suy ra AD = 2DO. Từ đó, ta có tỉ số: CD/AD = (2DO)/AD = (2DO)/(2DO) = 1 Do đó, câu trả lời là D. $\frac{1}{2}$, nhưng đây là kết quả không đúng với lập luận trên. Dựa vào phân tích, tỉ số CD/AD = 1 là phù hợp nhưng không có phương án nào phản ánh tỉ số này. Có thể có sự nhầm lẫn hoặc sai sót trong các phương án trả lời được cung cấp.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com