Example Question - cartesian coordinate system
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analysis of a Shaded Area in a Cartesian Coordinate System
Parece que hay una gráfica en la imagen que has proporcionado, pero no puedo ver el texto de las preguntas o los detalles que puedas necesitar resolver. Sin embargo, puedo describir lo que veo y dar una vista general de cómo uno podría abordar un problema relacionado con esta gráfica. La imagen muestra un sistema de coordenadas cartesianas con dos líneas rectas. Una línea es la función identidad, \( f(x) = x \), que es una línea que pasa por el origen con una pendiente de 1. La otra línea parece ser una función lineal con pendiente negativa, pero no tengo información sobre su ecuación exacta. Hay un área sombreada entre las dos líneas, que parece ser un triángulo rectángulo. Para calcular el área de este triángulo, necesitarías determinar la base y la altura del triángulo. La base puede ser la distancia en el eje x entre los puntos donde las dos líneas se cruzan con el eje, y la altura es la distancia en el eje y entre estos mismos puntos de cruce. Si tuvieras las coordenadas exactas de estos puntos de cruce, podrías utilizar la fórmula del área de un triángulo: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} \] Si necesitas ayuda para calcular algo más específico, por favor proporción más context o detalles del problema.
Calculating Vectors and Distances in Cartesian Coordinate System
The question is in German and it is asking to perform a series of calculations with given points in a Cartesian coordinate system. Let's proceed step by step. Given points are: \( A(-1/-1/-1); B(1/2/1); C(6/2/3); D(-4/2/-1/2) \). a) Calculate the following vectors: \( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{CD} \). To find the vector from one point to another, subtract the coordinates of the starting point from the coordinates of the ending point. \( \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - (-1), 2 - (-1), 1 - (-1)) = (2, 3, 2) \) \( \overrightarrow{AC} = C - A = (6 - (-1), 2 - (-1), 3 - (-1)) = (7, 3, 4) \) \( \overrightarrow{AD} = D - A = (-4 - (-1), 2 - (-1), -0.5 - (-1)) = (-3, 3, 0.5) \) \( \overrightarrow{BC} = C - B = (6 - 1, 2 - 2, 3 - 1) = (5, 0, 2) \) \( \overrightarrow{BD} = D - B = (-4 - 1, 2 - 2, -0.5 - 1) = (-5, 0, -1.5) \) \( \overrightarrow{CD} = D - C = (-4 - 6, 2 - 2, -0.5 - 3) = (-10, 0, -3.5) \) b) Calculate the distances of point A from B, C, and D. The distance between two points is the magnitude of the vector from one to the other. Distance between A and B (using \( \overrightarrow{AB} \)): \( \| \overrightarrow{AB} \| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17} \) Distance between A and C (using \( \overrightarrow{AC} \)): \( \| \overrightarrow{AC} \| = \sqrt{7^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 9 + 16} = \sqrt{74} \) Distance between A and D (using \( \overrightarrow{AD} \)): \( \| \overrightarrow{AD} \| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + (0.5)^2} = \sqrt{9 + 9 + 0.25} = \sqrt{18.25} \) c) Calculate the magnitude of all the vectors from part a. \( \| \overrightarrow{AB} \| = \sqrt{17} \) (as calculated above) \( \| \overrightarrow{AC} \| = \sqrt{74} \) (as calculated above) \( \| \overrightarrow{AD} \| = \sqrt{18.25} \) (as calculated above) \( \| \overrightarrow{BC} \| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \) \( \| \overrightarrow{BD} \| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2 + (-1.5)^2} = \sqrt{25 + 2.25} = \sqrt{27.25} \) \( \| \overrightarrow{CD} \| = \sqrt{(-10)^2 + 0^2 + (-3.5)^2} = \sqrt{100 + 12.25} = \sqrt{112.25} \) d) The distance from point P (1/x/1) to A is now set to 10 units. Calculate x and specify the point/points. We use the formula for the distance between two points: \(10 = \| \overrightarrow{AP} \| = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (x - (-1))^2 + (1 - (-1))^2}\) Now solve for x: \(10 = \sqrt{4 + (x + 1)^2 + 4}\) \(10 = \sqrt{(x + 1)^2 + 8}\) \(100 = (x + 1)^2 + 8\) \(92 = (x + 1)^2\) \(x + 1 = \pm \sqrt{92}\) \(x = -1 \pm \sqrt{92}\) So there are two possible points for P: - When subtracting: \(P_1 = (1, -1 - \sqrt{92}, 1)\) - When adding: \(P_2 = (1, -1 + \sqrt{92}, 1)\)
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