Example Question - binomial theorem
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding a Specific Term in Binomial Expansion
<p>To find the 4th term from the end in the expansion of \(\left(3x^2 - \frac{x^3}{6}\right)^7\), we can use the General Term formula for binomial expansion:</p> <p>The General Term (T_k) of (a + b)^n is given by:</p> <p>T_k = C(n, k-1) \cdot a^{n-k+1} \cdot b^{k-1}</p> <p>Since we're looking for the 4th term from the end, for n = 7, the term we're looking for is the 7 - 4 + 1 = 4th term (T_4).</p> <p>T_4 = C(7, 4-1) \cdot \left(3x^2\right)^{7-4+1} \cdot \left(-\frac{x^3}{6}\right)^{4-1}</p> <p>T_4 = C(7, 3) \cdot \left(3x^2\right)^4 \cdot \left(-\frac{x^3}{6}\right)^3</p> <p>T_4 = 35 \cdot \left(81x^8\right) \cdot \left(-\frac{x^9}{216}\right)</p> <p>T_4 = 35 \cdot 81 \cdot \left(-\frac{1}{216}\right) \cdot x^{8+9}</p> <p>T_4 = -\frac{35 \cdot 81 \cdot x^{17}}{216}</p> <p>T_4 = -\frac{2835 \cdot x^{17}}{216}</p> <p>T_4 = -\frac{35 \cdot x^{17}}{8}</p>
Finding Coefficient of Term with x^8
Để giải câu hỏi trong hình, chúng ta cần tìm hệ số của số hạng chứa \( x^8 \) trong khai triển của \( (x^2 + \frac{2}{x})^n \), với \( n \) là số nguyên dương không cho trước. Khai triển của biểu thức \( (x^2 + \frac{2}{x})^n \) theo công thức nhị thức Newton là: \[ (x^2 + \frac{2}{x})^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} (x^2)^{n-k} \left(\frac{2}{x}\right)^k \] \[ = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^{2(n-k)} \cdot 2^k \cdot x^{-k} \] \[ = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} 2^k x^{2n-3k} \] Vì chúng ta quan tâm đến số hạng chứa \( x^8 \), hãy đặt \( 2n - 3k = 8 \). Giải phương trình này, chúng ta có: \[ 2n - 3k = 8 \] \[ 2n = 8 + 3k \] \[ n = \frac{8 + 3k}{2} \] Giá trị của \( n \) cần là một số nguyên dương, và nó cũng phải lớn hơn hoặc bằng \( k \). Nếu \( k \) là 0, thì \( n \) sẽ là 4, nhưng nếu \( k \) là 1, thì \( n \) sẽ không còn là số nguyên nữa. Vì vậy, \( k \) không thể nhỏ hơn 2. Chọn \( k = 2 \), ta được: \[ n = \frac{8 + 3(2)}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] Vậy \( n = 7 \). Bây giờ chúng ta biết \( n=7 \) và \( k=2 \), chúng ta có thể tính hệ số của số hạng: \[ C_{n}^{k} 2^k = C_{7}^{2} 2^2 = \frac{7!}{2!(7 - 2)!} \cdot 4 = \frac{7 \cdot 6}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 3 \cdot 4 = 84 \] Vậy hệ số của số hạng chứa \( x^8 \) trong khai triển là 84. Trong các phương án A, B, C, và D, không có phương án nào phù hợp với đáp án 84 cả, vậy có thể hình ảnh đã không hiển thị đủ các phương án hoặc có lỗi khi in đề. Tuy nhiên, trên cơ sở thông tin có sẵn, đáp án là 84.
Expanding Binomial with Coefficients of x² and x³
The image shows several mathematical problems, but I will focus on question number 2, as requested: "2. The coefficient of x^2 and x^3 in the expansion of (3-2x)^5 are a and b respectively. Find the value of p = a-b." To find the coefficients of x² and x³ in the expansion of (3-2x)⁵, we can use the binomial theorem. The binomial theorem states that (a + b)ⁿ = Σ from k = 0 to n (n choose k) * a^(n-k) * b^k. For (3 - 2x)⁵, we have a = 3 and b = -2x. Now we need to find the terms where the exponent of x is 2 and 3. The general term in binomial expansion is T(k+1) = (n choose k) * a^(n-k) * b^k. For the x² term (k = 2): T(3) = (5 choose 2) * 3^(5-2) * (-2x)² T(3) = 10 * 3³ * 4x² T(3) = 10 * 27 * 4x² T(3) = 1080 x² So, a = 1080. For the x³ term (k = 3): T(4) = (5 choose 3) * 3^(5-3) * (-2x)³ T(4) = 10 * 3² * -8x³ T(4) = 10 * 9 * -8x³ T(4) = -720 x³ So, b = -720. Finally, we have to find p = a - b: p = a - b p = 1080 - (-720) p = 1080 + 720 p = 1800. Therefore, the value of p is 1800.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com