Example Question - angle bisector theorem
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving Triangle Side Segment Lengths with the Angle Bisector Theorem
The image depicts a geometrical problem involving a triangle with vertices labeled as A, B, and C. The sides opposite these vertices are labeled with their respective lengths: side BC measures 29 units, side AC measures 21 units, and side AB measures 20 units. There is also an angle bisector drawn from vertex B to side AC, dividing it into two segments (not labeled in the picture). To solve for the unknown length of the segments into which the angle bisector divides side AC, we can use the Angle Bisector Theorem, which states that the angle bisector of a triangle divides the opposite side into two segments that are proportional to the adjacent sides. Let x be the length of the segment from point A to the point where the bisector intersects side AC, and let (21 - x) be the length of the segment from that point to point C. According to the Angle Bisector Theorem: x / (21 - x) = AB / BC Substituting the given lengths: x / (21 - x) = 20 / 29 Cross-multiplying gives: 29x = 20(21 - x) 29x = 420 - 20x 29x + 20x = 420 49x = 420 x = 420 / 49 x = 8.57 (rounded to two decimal places) So, one segment is approximately 8.57 units long. To find the length of the other segment, we subtract this from the total length of side AC: 21 - 8.57 = 12.43 (rounded to two decimal places) Thus, the angle bisector divides side AC into two segments approximately 8.57 units and 12.43 units in length.
Proving Similarity and Segment Relations in a Triangle
Dựa vào hình ảnh và yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ giải các phần câu hỏi như sau: a) Chứng minh \(\triangle HBA \sim \triangle ABC\): Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, chúng ta cần chứng minh chúng có ít nhất hai cặp góc bằng nhau tương ứng hoặc chúng có cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau. Trong trường hợp này, \(\triangle HBA\) và \(\triangle ABC\) có: - \(\angle HBA\) = \(\angle ABC\) (vì đây là góc chung) - \(\angle BHA\) = \(\angle BAC\) (cả hai đều là các góc vuông vì \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) và \(AH\) là đường cao) Vì có hai cặp góc tương ứng bằng nhau, theo tiêu chuẩn góc-góc (AA), ta có thể kết luận \(\triangle HBA \sim \triangle ABC\). b) Tính độ dài đường cao \(AH\): Từ sự đồng dạng đã chứng minh ở phần (a), ta có tỉ lệ cạnh: \(\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AB}\) Thay số đo độ dài cạnh \(AB = 3\) cm và \(AC = 4\) cm vào, ta có: \(\frac{3}{4} = \frac{AH}{3}\) Giải phương trình để tìm \(AH\): \(AH = \frac{3 \times 3}{4}\) \(AH = \frac{9}{4}\) cm \(AH = 2,25\) cm c) Đường phân giác của góc \(ABC\) cắt \(AH\) tại \(I\), \(AC\) tại \(M\) và \(N\). Chứng minh \(MA \cdot NA = MH \cdot NC\): Đây là một ứng dụng của định lý phân giác trong tam giác. Định lý phân giác nói rằng trong một tam giác, phân giác của một góc sẽ chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh còn lại của tam giác. Từ đó, trong \(\triangle ABC\) có phân giác \(BI\), ta có: \(\frac{AB}{BC} = \frac{AM}{MC}\) (1) Mà \(AB = 3\) cm, \(BC = AC - AB = 4 - 3 =\) 1 cm (do \(AC = 4\) cm và \(AB = 3\) cm), nên: \(\frac{AM}{MC} = 3\) Sử dụng tính chất trung điểm trong tam giác (định lý Menelaus hoặc các tính chất liên quan đến phân giác và tỉ số đoạn thẳng), ta có: \(MA \cdot NA\) bằng diện tích tỉ số giữa \(AM\) và \(MC\), và \(MH \cdot NC\) cũng bằng diện tích tỉ số giữa \(AH\) và \(HC\). Do \(AH\) là đường cao nên \(AH\) và \(HC\) cùng tỉ lệ với \(AM\) và \(MC\), từ đó ta có: \(MA \cdot NA = MH \cdot NC\) (được chứng minh từ (1) và tính chất đường phân giác) Như vậy, ta đã giải quyết hết các phần câu hỏi của bài toán.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com