Example Question - amc10

Divisibility Question on a Number Sequence

<p>首先我们识别出数列的模式。这个数列以2开始，每个后续的数都是前一个数乘以10再加1，所以通项公式可以写为 \(a_n = 2 \times 10^{n-1} + 1\)。</p> <p>要找出前2018个数中有多少个能被101整除，我们需要检查数列的每一项是否能被101整除。</p> <p>注意到\(10^2 = 100\)，而\(100 \equiv -1 \pmod{101}\)，所以\(10^{2k} \equiv 1 \pmod{101}\) 对于任何自然数k。</p> <p>对于数列中的\(a_n\)，我们可以写成这种形式\(a_n = 2(10^{2k}) + 1\) (当n为偶数时) 和 \(a_n = 20(10^{2k}) + 1\) (当n为奇数时)。</p> <p>当n为偶数时，\(a_n\)可以写作\(2(10^{2k}) + 1\)，由于\(10^{2k} \equiv 1 \pmod{101}\)，\(2(10^{2k}) + 1 \equiv 2 \times 1 + 1 \equiv 3 \pmod{101}\)，并不是0，所以当n为偶数时，\(a_n\)不能被101整除。</p> <p>当n为奇数时，\(a_n\)可以写作\(20(10^{2k}) + 1\)，由于\(10^{2k} \equiv 1 \pmod{101}\)，\(20(10^{2k}) + 1 \equiv 20 \times 1 + 1 \equiv 21 \pmod{101}\)，这同样不是0，所以即使n为奇数时，\(a_n\)也不能被101整除。</p> <p>由此可见，序列中没有数可以被101整除，所以答案是0。</p> <p>但是，选项中没有0，这提示我们可能错过了一些重要信息。我们忽略了一个事实，就是\(10^{100} \equiv 1 \pmod{101}\)由于费马小定理。这意味着任何\(10^{100k}\)的倍数形式的项，如\(2 \times 10^{100k} + 1\)都将能被101整除。</p> <p>我们现在要找的是2018个数中\(10^{100k}\)的倍数的数量，它对应于公式序列中\(100k + 1\)的位置。</p> <p>于是，\(100k + 1 \leq 2018\)，解得 \(k \leq 20.17\)，所以 \(k\) 的最大值为20。</p> <p>这意味着在前2018个数之中，有20个数能被101整除，所以正确答案是 (A) 20。</p>