Exploring the Sieve of Eratosthenes for Prime Numbers
Die Aufgabe in dem Bild beschreibt eine Übung, die auf dem Sieb des Eratosthenes basiert, einem alten Algorithmus zur Ermittlung von Primzahlen. Hier ist die Beschreibung und eine Anleitung für die Übung:
Übung 11.3a:
Zur Ermittlung von Primzahlen lässt sich ein anschauliches Verfahren von Eratosthenes (3.Jh, Chr.) angeben: das Sieb des Eratosthenes:
1. Bei der Suche nach den Primzahlen bis 100 konnten Sie die Zahlen 11 bis 100 als neue Zahlen nach streichen.
2. Wie wäre das wohl bei einem Zahlenfeld bis 500 oder das bis 1000?
Zusatz: Beginnen Sie Ihre Vermutung für beliebig große Zahlenfelder.
Um diese Aufgabe zu lösen, gehen Sie wie folgt vor:
1. Beginnen Sie mit einer Liste von Zahlen bis zum gewählten Limit (100, 500, 1000 oder mehr).
2. Streichen Sie die Zahl 1, da sie keine Primzahl ist.
3. Die kleinste ungestrichene Zahl ist immer eine Primzahl. Beginnen Sie mit der Zahl 2.
4. Streichen Sie alle Vielfachen dieser Primzahl in der Liste.
5. Finden Sie die nächste ungestrichene Zahl in der Liste, das wird Ihre nächste Primzahl sein.
6. Wiederholen Sie das Streichen aller Vielfachen der neuen Primzahl.
7. Fahren Sie fort, bis keine Zahlen mehr zum Prüfen übrig sind. Die ungestrichenen Zahlen sind die Primzahlen.
Wenn Sie das Sieb des Eratosthenes für größere Zahlen anwenden, können Sie eine Vermutung anstellen, dass:
- Die Anzahl der Primzahlen im Vergleich zur Gesamtanzahl der Zahlen abnimmt, je größer das Zahlenfeld ist.
- Je mehr Sie streichen, desto geringer wird die Dichte der Primzahlen.
- Das Sieb wird immer weniger effizient, da die Vielfachen der neu gefundenen Primzahlen im Vergleich zu kleineren Zahlenfeldern spärlicher verteilt sind.
Erinnern Sie sich jedoch, dass dies eine Vermutung ist und die tatsächliche Verteilung der Primzahlen in mathematischen Studien genauer untersucht werden muss.
