Example Question - absolute value function
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analyzing Absolute Value Function Graphs from Given Options
题目要求我们从四个选项中确定函数 \( f(x) = |g(x)| \) 的图像。首先，我们需要理解绝对值函数的属性。 绝对值函数 \( |g(x)| \) 会保留 \( g(x) \) 的非负值，并将所有负值反转至他们的正值。这意味着若 \( g(x) \) 在某区间内为正值，则 \( |g(x)| \) 保持在该区间内的图像不变；若 \( g(x) \) 为负值，则绝对值函数将会将这些值“翻转”到 \( x \) 轴上方。 我们可以通过比较所提供的图像来分析： A. 选项显示了一个一次函数，其中有正斜率和负斜率的部分。这不符合绝对值函数的性质，因为所有的值都应该是非负的。 B. 选项显示了一个向上开口的抛物线，最低点位于 \( x \) 轴以上。这不可能是 \( |g(x)| \) 的图像，因为抛物线未穿过 \( x \) 轴，而原始函数 \( g(x) \) 必然有负值部分，所以绝对值函数应在 \( x \) 轴上方有部分图像对称。 C. 选项显示了一个在 \( y \) 轴两边对称的图像，且在 \( x \) 轴以下的部分已被“翻转”至 \( x \) 轴以上。这和绝对值函数的性质吻合，因为所有原本为负值的部分都已反转成正值。 D. 选项也展现了一个向上开口的抛物线，但是最低点在 \( x \) 轴以下。这意味着原来 \( g(x) \) 的值在某区间内为负值，且当应用绝对值函数后，这部分应该反映在 \( x \) 轴上方，而不是类似原始抛物线。 因此，正确答案是 C 选项，因为它符合绝对值函数将原函数负值部分翻转到 \( x \) 轴上方的特征。
Solving Absolute Value Inequality
The given inequality is \( 10 > |q - 10| \). This inequality states that the absolute value of \( q - 10 \) is less than 10. To solve this inequality, you will split it into two separate inequalities, one for each case of the absolute value function (positive and negative), and solve for \( q \). 1. For the positive case: \[ q - 10 < 10 \] Adding 10 to both sides gives you: \[ q < 20 \] 2. For the negative case: \[ -(q - 10) < 10 \] Simplifying further: \[ -q + 10 < 10 \] Subtracting 10 from both sides gives you: \[ -q < 0 \] Now, multiply both sides by -1 (remember that multiplying by -1 reverses the inequality): \[ q > 0 \] Combining both cases, the solution for \( q \) is the range where both conditions are met: \[ 0 < q < 20 \] So the set of all real numbers \( q \) that satisfies the original inequality is any number greater than 0 and less than 20.
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