Question - Analysis of Harmonic Oscillation

Α. Η μέγιστη τιμή (στο σημείο όπου το ελατήριο είναι μέγιστα τεντωμένο ή συμπιεσμένο) της ταχύτητας είναι μηδέν. Όταν το σώμα είναι στη θέση ισορροπίας, έχει τη μέγιστη ταχύτητα. Η απόσταση από τη θέση ισορροπίας στο μέγιστο σημείο έκτασης είναι η πλάτος Α. Προκύπτει ότι A=0,5 m.

Β. Η εξίσωση της ταχύτητας σε αρμονική ταλάντωση είναι v = Aωsin(ωt+φ), όπου ω η γωνιακή συχνότητα, φ η αρχική φάση και t ο χρόνος. Όταν το σώμα περνάει από τη θέση ισορροπίας για πρώτη φορά, φ=0 και sin(ωt)=1 (ωt=π/2+2πn, όπου n είναι ακέραιος). Βρίσκουμε τη μέγιστη ταχύτητα v_max ως v_max = Aω. Δεδομένου ότι η γονιακή ταχύτητα είναι σταθερή και ανεξάρτητη του χρόνου, προκύπτει ότι η μέγιστη ταχύτητα είναι η ταχύτητα που έχει το σώμα όταν περνά από τη θέση ισορροπίας.

Γ. Η εξίσωση της επιτάχυνσης σε αρμονική ταλάντωση είναι a = -ω^2Acos(ωt+φ). Δεδομένου ότι αναφέρεται ότι η επιτάχυνση είναι a = -5kg⋅m/s^2 όταν η φάση είναι φ = -π/2 (cos(ωt - π/2) = sin(ωt)) και A = 0,5 m, βάζουμε στην εξίσωση και επιλύουμε για ω^2, έτσι ω^2 = (a/A) = (-5)/(0,5) = -10 s^-2. Εξαιτίας του ότι ω πρέπει να είναι θετικό, οπότε ω = √10 s^-1.

Δ. Για να βρούμε τη φάση που συμβαίνει η επιτυχία με την ταχύτητα πέρασμα του σώματος από τη θέση ισορροπίας, χρησιμοποιούμε τη γνώση ότι το cos(φ) = 0,4 και ότι a = -ω^2Acos(ωt+φ). Επιβεβαιώνουμε ότι φ = arccos(0,4) ή φ = 2π - arccos(0,4).